Как-то на последних сборах @Archer спросил про решение одной задачи, которую я и @Dos решили независимо друг от друга, но по существу одинаковыми методами. Для архива опубликую его здесь. Прежде чем смотреть в решение, стоит конечно же сперва попробовать поразмыслить над задачей самим))
Условие: доказать, что вблизи заряженной поверхности справедливо следующее:
Здесь расстояние n отсчитывается по нормали от поверхности проводника, R_1 и R_2 – радиусы кривизны окрестности рассматриваемой поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях.
Полное решение
Очевидно, что \vec E \upuparrows \vec n у любой точки вблизи поверхности проводника. С учётом этого, высечем на проводнике криволинейный прямоугольник, и построим четыре плоскости, перпендикулярные каждой стороне этого прямоугольника.
Эти высекающие плоскости образовывают своего рода пирамиду, основание которой и есть наш заряженный прямоугольник. Поскольку \vec E \upuparrows \vec n, то потока электрического поля через эти боковые плоскости нет. А значит можно мысленно взять прямоугольник, который в точности как и заряженный прямоугольник ограничен этими плоскостями, но находится на \vec n дальше заряженного. Поток \oint\vec E\cdot d\vec S через него равен просто ES, причем этот поток не зависит от n при сохранении условия близости к заряженной поверхности:
Иначе говоря, чем дальше рассматривается мысленная поверхность, тем сильнее “растягивается” она (а суммарный заряд остаётся), и тем слабее становится поле E, что интуитивно объясняет существование отрицательного \partial E/\partial n. В общем говоря, можно переписать последнее уравнение как
Задача свелась к нахождению изменения площади S с увеличением n. А для этого просто пойдём по доказательству, аналогичному доказательству для лапласова капиллярного давления жидкости. Если плоские углы двух взаимно перпендикулярных плоскостей равны \varphi и \theta (см. рисунок), то справедливо следующее:
Подстановкой доказываем справедливость уравнения, заданного в условии.