3.2.34∗
Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две
сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний
жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается
горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна H.
Добро пожаловать на форум! Иногда задачи могут вызывать негативные эмоции, однако согласно правилам стоит использовать более культурные выражения!
6 лайков
Нужно подвести уравнение движения жидкости к уравнению колебаний вида \ddot x +\omega^2x=0.
Пусть первый столбик жидкости поднялся относительно равновесного уровня на x. Тогда другой столбик поднимется (точнее опустится, но этому я даю знак минус) на x'=-S_1x/S_2, где S_{1,2} – площади поперечного сечения двух столбиков. Кинетическая энергия жидкости равна
\Kappa=\frac{1}{2}(\rho S_1H\dot x^2+\rho S_2H\dot x'^2) = \frac{\rho S_1(S_1+S_2)}{2S_2}H\dot x^2.
При таком смещении потенциальная энергия жидкости относительно уровня равновесия равна
\Pi = \rho S_1x\cdot g\cdot\frac{x}{2}+\rho S_2x'\cdot g\cdot\frac{x'}{2} = \rho S_1gx\frac{S_2x+S_1x}{2S_2}=\frac{\rho S_1(S_1+S_2)}{2S_2}gx^2.
Суммарная энергия системы \Kappa+\Pi постоянна по времени, а значит её производная равна нулю. Продифференцируем по времени. По правилу взятия сложной производной d(\dot x^2)/dt=2\dot x\ddot x, тогда
\frac{\rho S_1(S_1+S_2)}{S_2}H\dot x\ddot x + \frac{\rho S_1(S_2+S_1)}{S_2}g x \dot x = 0
Сокращаем на \dot x, удивительным образом сокращаем все площади, получаем
\ddot x +\frac{g}{H}x=0.
Второй способ: при небольшом смещении столбик жидкости \rho g (x-x') начинает “давить” всю жидкость в обратную сторону. Тогда
\rho(S_1+S_2)H\ddot x =-\rho g x(1+S_2/S_1)S_1.
Получаем то же дифференциальное уравнение.
6 лайков