9.1.4*. В прямоугольную кювету, две противоположные стенки которой металлические, а остальные сделаны из изолятора, налит электролит, плотность которого равна r, а удельная проводимость равна c. К металлическим стенкам кюветы приложено напряжение V, и вся кювета помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией В. Определите разность уровней жидкости около неметаллических стенок кюветы. Длина кюветы равна а, ширина - b.
@eudaimon , как решить задачу, рассматривая тонкие провода и силы, действующие на них?
Привет, Михаил.
Задача 9.1.4* из Савченко — прекрасный пример взаимодействия электромагнетизма с гидродинамикой. Ваше предположение о силах, действующих на “тонкие провода”, интуитивно верно, но для непрерывной среды, такой как электролит, его необходимо формализовать через объемные силы и плотности.
Суть проблемы заключается в возникновении силы Лоренца на движущиеся заряды (ионы) в электролите, которые образуют электрический ток. Эта сила, приложенная к объему жидкости, создает градиент давления, который, в свою очередь, проявляется в виде разности уровней.
Давайте рассмотрим последовательность шагов:
-
Электрическое поле и плотность тока:
Предположим, металлические стенки кюветы расположены на расстоянии a друг от друга (соответствует длине кюветы). Тогда при приложении напряжения V возникает однородное электрическое поле:
$$E = \frac{V}{a}$$
Плотность тока \mathbf{J} (направленная вдоль электрического поля, скажем, вдоль оси x) определяется законом Ома для проводящей среды:
$$J = \sigma E = \frac{\sigma V}{a}$$
где \sigma — удельная проводимость электролита. -
Объемная сила Лоренца:
На каждый элемент объема электролита, по которому течет ток, действует сила Лоренца. Эта сила на единицу объема (так называемая объемная сила или плотность силы) определяется векторным произведением плотности тока на индукцию магнитного поля:
$$\mathbf{f}_V = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$$
Поскольку ток \mathbf{J} направлен горизонтально (например, вдоль оси x), а магнитное поле \mathbf{B} — вертикально (вдоль оси z), то сила \mathbf{f}_V будет направлена горизонтально, перпендикулярно как току, так и полю (например, вдоль оси y, перпендикулярно неметаллическим стенкам).
Её модуль:
$$f_V = J B = \frac{\sigma V B}{a}$$
Эта сила толкает весь объем жидкости к одной из неметаллических стенок. -
Градиент давления:
Постоянная объемная сила f_V, действующая вдоль оси y на протяжении всей ширины b кюветы, приводит к возникновению разности давлений \Delta P между неметаллическими стенками:
$$\Delta P = f_V \cdot b = \frac{\sigma V B}{a} \cdot b = \frac{\sigma V B b}{a}$$ -
Разность уровней жидкости:
Эта разность давлений \Delta P уравновешивается гидростатическим давлением, вызванным разностью уровней \Delta h жидкости между этими стенками:
$$\Delta P = \rho g \Delta h$$
где \rho — плотность электролита, g — ускорение свободного падения.Приравнивая два выражения для \Delta P, получаем:
$$\rho g \Delta h = \frac{\sigma V B b}{a}$$
Отсюда, искомая разность уровней:
$$\Delta h = \frac{\sigma V B b}{\rho g a}$$
Касательно “тонких проводов”:
Ваша интуиция совершенно верна в том, что ток представляет собой движение зарядов, и на эти движущиеся заряды действует сила Лоренца. В непрерывной среде, такой как электролит, мы не имеем дело с дискретными “проводами”. Вместо этого, мы рассматриваем плотность тока J как макроскопическую меру потока заряда через единицу площади. Тогда сила Лоренца, действующая на весь объем жидкости, является суммой сил, действующих на все движущиеся заряды внутри этого объема. Принцип тот же самый: сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, но здесь он применен к каждой элементарной части объема жидкости. Именно эта распределенная по объему сила и вызывает градиент давления, а затем и разность уровней.
Надеюсь, это объяснение проясняет суть задачи. Не стесняйтесь задавать уточняющие вопросы, если что-то осталось неясным или если вы хотите углубиться в основы магнитогидродинамики.
Перепиши формулы по-другому
Хорошо. Давайте сфокусируемся исключительно на математической формализации, излагая каждый шаг в виде четкого уравнения.
Примем следующие обозначения:
- V — напряжение
- a — длина кюветы (расстояние между металлическими стенками)
- b — ширина кюветы
- \sigma — удельная проводимость электролита
- B — индукция магнитного поля
- \rho — плотность электролита
- g — ускорение свободного падения
- \Delta h — искомая разность уровней жидкости
Вывод формулы:
-
Напряженность электрического поля E:
$$E = \frac{V}{a} \quad (1)$$ -
Плотность тока J:
По закону Ома для проводящей среды:
$$J = \sigma E \quad (2)$$
Подставляя (1) в (2):
$$J = \frac{\sigma V}{a} \quad (3)$$ -
Модуль объемной силы Лоренца f_V (сила на единицу объема):
$$f_V = J B \quad (4)$$
Подставляя (3) в (4):
$$f_V = \frac{\sigma V B}{a} \quad (5)$$ -
Разность давлений \Delta P между неметаллическими стенками:
Эта разность давления создается объемной силой f_V, действующей на протяжении ширины b:
$$\Delta P = f_V \cdot b \quad (6)$$
Подставляя (5) в (6):
$$\Delta P = \frac{\sigma V B b}{a} \quad (7)$$ -
Гидростатическая разность давлений \Delta P:
Разность уровней жидкости \Delta h создает гидростатическое давление:
$$\Delta P = \rho g \Delta h \quad (8)$$ -
Итоговая разность уровней \Delta h:
Приравниваем выражения для \Delta P из (7) и (8):
$$\rho g \Delta h = \frac{\sigma V B b}{a}$$
Выражаем \Delta h:
$$\Delta h = \frac{\sigma V B b}{\rho g a} \quad (9)$$
Это и есть искомая формула. Каждый шаг пронумерован для ясности.
Перепиши с одним знаком доллара
Хорошо. Я перепишу вывод, используя $ ... $ для математических выражений.
Вывод формулы (с inline LaTeX):
Примем следующие обозначения:
- V — напряжение
- a — длина кюветы (расстояние между металлическими стенками)
- b — ширина кюветы
- \sigma — удельная проводимость электролита
- B — индукция магнитного поля
- \rho — плотность электролита
- g — ускорение свободного падения
- \Delta h — искомая разность уровней жидкости
-
Напряженность электрического поля E:
E = V/a -
Плотность тока J:
По закону Ома для проводящей среды: J = \sigma E. Подставляя E = V/a, получаем J = \sigma V/a. -
Модуль объемной силы Лоренца f_V (сила на единицу объема):
f_V = J B. Подставляя J = \sigma V/a, получаем f_V = \sigma V B/a. -
Разность давлений \Delta P между неметаллическими стенками:
Эта разность давления создается объемной силой f_V, действующей на протяжении ширины b: \Delta P = f_V \cdot b. Подставляя f_V = \sigma V B/a, получаем \Delta P = \sigma V B b/a. -
Гидростатическая разность давлений \Delta P:
Разность уровней жидкости \Delta h создает гидростатическое давление: \Delta P = \rho g \Delta h. -
Итоговая разность уровней \Delta h:
Приравниваем два выражения для \Delta P: \rho g \Delta h = \sigma V B b/a.
Выражаем \Delta h: \Delta h = \sigma V B b/(\rho g a).
Это и есть искомая формула.
Реши немного другим способом, не используя связь с напряжённостью
Хорошо. Давайте подойдем к задаче, фокусируясь на общей силе тока и сопротивлении, избегая прямого использования напряженности электрического поля E.
Примем те же обозначения:
- V — напряжение
- a — длина кюветы (расстояние между металлическими стенками)
- b — ширина кюветы
- \sigma — удельная проводимость электролита
- B — индукция магнитного поля
- \rho — плотность электролита
- g — ускорение свободного падения
- \Delta h — искомая разность уровней жидкости
- H — (средняя) высота жидкости в кювете
Вывод формулы (без явного использования E):
-
Электрическое сопротивление R электролита:
Электролит между металлическими стенками можно рассматривать как резистор. Длина проводника (расстояние, которое проходит ток) равна a. Площадь поперечного сечения, через которое течет ток, равна A = b \cdot H.
Сопротивление проводника определяется формулой R = \text{длина} / (\sigma \cdot \text{площадь поперечного сечения}).
Таким образом: R = a / (\sigma b H). -
Полный ток I через электролит:
По закону Ома, полный ток I, протекающий через электролит, равен напряжению V, деленному на сопротивление R:
I = V/R = V / (a / (\sigma b H)) = \sigma V b H / a. -
Плотность тока J в электролите:
Плотность тока J — это полный ток I, деленный на площадь поперечного сечения A, через которое он равномерно распределен:
J = I/A = (\sigma V b H / a) / (b H) = \sigma V / a.
(Обратите внимание: хотя мы не использовали E напрямую, эта формула для J эквивалентна J=\sigma E, если E=V/a. Это просто другой путь к той же физической величине). -
Полная сила Лоренца F_{Лоренца} на электролит:
Сила Лоренца, действующая на единицу объема (объемная плотность силы), равна f_V = J B. Эта сила направлена перпендикулярно как току, так и магнитному полю. В данной задаче ток горизонтален, поле вертикально, поэтому сила будет горизонтальной, действующей вдоль ширины b кюветы.
Полная сила F_{Лоренца}, действующая на весь объем жидкости V_{жидкости} = a b H, будет:
F_{Лоренца} = f_V \cdot V_{жидкости} = (\sigma V B / a) \cdot (a b H) = \sigma V B b H. -
Разность давлений \Delta P между неметаллическими стенками:
Эта полная сила F_{Лоренца} толкает жидкость к одной из неметаллических стенок. Давление, создаваемое этой силой, равно F_{Лоренца}, деленной на площадь стенки, к которой прикладывается сила. Площадь неметаллической стенки равна A_{стенки} = a H.
\Delta P = F_{Лоренца} / A_{стенки} = (\sigma V B b H) / (a H) = \sigma V B b / a. -
Разность уровней жидкости \Delta h:
Эта разность давлений \Delta P уравновешивается гидростатическим давлением, вызванным разностью уровней \Delta h жидкости:
\Delta P = \rho g \Delta h.
Приравнивая два выражения для \Delta P:
\rho g \Delta h = \sigma V B b / a.
Выражая \Delta h:
\Delta h = \sigma V B b / (\rho g a).
Таким образом, мы получили ту же формулу, но выведя плотность тока через полный ток и сопротивление, а не через прямое определение напряженности электрического поля. Надеюсь, такой подход более соответствует вашему запросу.
Почему гидростатическое давление находится именно так, разве не нужно делить его на 2?
Нет, Михаил, делить на 2 не нужно. Формула \Delta P = \rho g \Delta h абсолютно корректна для описания разности гидростатических давлений, вызванной разностью уровней жидкости \Delta h.
Давайте разберем, почему.
Представьте две точки на одном и том же горизонтальном уровне (например, на дне кюветы), но у разных неметаллических стенок. Пусть уровень жидкости у одной стенки равен h_1, а у другой — h_2. Разность уровней \Delta h = |h_2 - h_1|.
Давление в жидкости на глубине h (от поверхности) равно P = P_{атм} + \rho g h, где P_{атм} — атмосферное давление над поверхностью жидкости.
Тогда давление на дне у первой стенки:
P_1 = P_{атм} + \rho g h_1
Давление на дне у второй стенки:
P_2 = P_{атм} + \rho g h_2
Разность давлений между этими двумя точками на дне кюветы будет:
\Delta P = |P_2 - P_1| = |(P_{атм} + \rho g h_2) - (P_{атм} + \rho g h_1)| = |\rho g h_2 - \rho g h_1| = \rho g |h_2 - h_1| = \rho g \Delta h.
Эта разность давлений \Delta P как раз и уравновешивает объемную силу Лоренца, действующую на жидкость. Жидкость перераспределяется до тех пор, пока создаваемая ею разность давлений не компенсирует внешнее воздействие.
Почему могло возникнуть заблуждение о делении на 2?
Возможно, вы путаете с другими физическими формулами, где присутствует коэффициент 1/2 (например, кинетическая энергия E_k = \frac{1}{2}mv^2, или потенциальная энергия деформированной пружины E_p = \frac{1}{2}kx^2). Однако в случае гидростатики, когда мы говорим о давлении, создаваемом столбом жидкости высотой \Delta h, это давление полностью пропорционально высоте этого столба, без каких-либо коэффициентов 1/2.
Гидростатическое давление отражает вес столба жидкости над заданной точкой. Если один столб на \Delta h выше другого, то и разница в давлении будет ровно \rho g \Delta h.
Есть ли у вас конкретный пример или ассоциация, которая привела к мысли о делении на 2? Понимание корня такого вопроса часто помогает устранить подобные заблуждения.
Нет, просто уровень меняется плавно, но промежуточные давления мы не учитываем.
Отличный вопрос, Михаил. Ваше наблюдение о “плавном изменении уровня” и “промежуточных давлениях” указывает на глубокое понимание сути явления.
Действительно, уровень жидкости меняется плавно от одной неметаллической стенки к другой, образуя наклонную поверхность. Мы не “игнорируем” промежуточные давления; напротив, мы используем принцип равновесия сил на любой малый объем жидкости внутри кюветы.
Давайте разберемся подробнее:
-
Объемная сила и градиент давления:
Сила Лоренца \mathbf{f}_V = \mathbf{J} \times \mathbf{B} — это объемная сила, то есть сила, действующая на единицу объема жидкости. В нашей задаче эта сила направлена горизонтально и равномерно распределена по всему объему электролита.
Для того чтобы жидкость находилась в равновесии (т.е., не ускорялась в горизонтальном направлении), эта объемная сила должна быть уравновешена градиентом давления.Представьте, что сила f_V толкает жидкость вдоль оси y. Для поддержания равновесия должно существовать давление, которое “давит” обратно. Это означает, что давление должно постепенно увеличиваться (или уменьшаться) вдоль направления действия силы. Математически это выражается так:
$$f_V = \frac{dP}{dy}$$
Это фундаментальное уравнение равновесия для несжимаемой жидкости под действием объемной силы. Оно означает, что объемная сила на единицу объема в точности равна градиенту давления. -
Интегрирование градиента давления:
Поскольку объемная сила f_V в нашем случае является константой по всей ширине b кюветы (мы вывели f_V = \sigma V B / a, и она не зависит от y), то и градиент давления \frac{dP}{dy} также будет постоянным.
Чтобы найти общую разность давлений \Delta P между двумя неметаллическими стенками (которые разделены расстоянием b), мы можем проинтегрировать градиент давления по ширине:
$$\Delta P = \int_0^b \frac{dP}{dy} dy = \int_0^b f_V dy$$
Так как f_V константа:
$$\Delta P = f_V \cdot b$$
Это именно тот шаг, который мы использовали в предыдущих выводах. Это выражение для \Delta P учитывает весь “плавный переход” давления от одной стенки к другой, суммируя вклад от каждого бесконечно малого участка dy. -
Связь с гидростатикой:
Теперь, когда мы имеем полную разность давлений \Delta P между стенками, эта разность должна быть уравновешена гидростатической разностью давлений, созданной наклоном поверхности жидкости.
Если поверхность жидкости имеет наклон, то уровень у одной стенки h_1 отличается от уровня у другой стенки h_2.
Разность гидростатических давлений между двумя точками на одном горизонтальном уровне (например, на дне кюветы), но у разных стенок, определяется формулой:
$$\Delta P_{гидростатическое} = \rho g \Delta h$$
где \Delta h = |h_2 - h_1| — это общая разность уровней между этими двумя стенками.В состоянии равновесия эта гидростатическая разность давлений \Delta P_{гидростатическое} должна в точности компенсировать разность давлений \Delta P, вызванную силой Лоренца:
$$\rho g \Delta h = f_V \cdot b$$
Отсюда мы и находим \Delta h.
Итог:
Мы не делим на 2, потому что \Delta h — это уже полная разность высот между двумя точками, которые мы рассматриваем (у двух неметаллических стенок). “Плавное изменение” означает лишь то, что переход от одного уровня к другому происходит равномерно, создавая постоянный градиент давления, который в свою очередь полностью компенсируется постоянной объемной силой. Нет необходимости учитывать “промежуточные” давления более сложным образом, потому что суммарный эффект этого градиента по всей ширине b выражается одной величиной \Delta P, которая затем и уравновешивается \rho g \Delta h.
Надеюсь, это объяснение проясняет, как “плавность” процесса учтена через градиент давления, а не через какой-либо коэффициент деления.
Перепиши тоже самое с одним знаком доллара
Хорошо. Я перепишу объяснение о гидростатическом давлении, используя только $ ... $ для математических выражений.
Отличный вопрос, Михаил. Ваше наблюдение о “плавном изменении уровня” и “промежуточных давлениях” указывает на глубокое понимание сути явления.
Действительно, уровень жидкости меняется плавно от одной неметаллической стенки к другой, образуя наклонную поверхность. Мы не “игнорируем” промежуточные давления; напротив, мы используем принцип равновесия сил на любой малый объем жидкости внутри кюветы.
Давайте разберемся подробнее:
-
Объемная сила и градиент давления:
Сила Лоренца \mathbf{f}_V = \mathbf{J} \times \mathbf{B} — это объемная сила, то есть сила, действующая на единицу объема жидкости. В нашей задаче эта сила направлена горизонтально и равномерно распределена по всему объему электролита.
Для того чтобы жидкость находилась в равновесии (т.е., не ускорялась в горизонтальном направлении), эта объемная сила должна быть уравновешена градиентом давления.Представьте, что сила f_V толкает жидкость вдоль оси y. Для поддержания равновесия должно существовать давление, которое “давит” обратно. Это означает, что давление должно постепенно увеличиваться (или уменьшаться) вдоль направления действия силы. Математически это выражается так:
f_V = dP/dy.
Это фундаментальное уравнение равновесия для несжимаемой жидкости под действием объемной силы. Оно означает, что объемная сила на единицу объема в точности равна градиенту давления. -
Интегрирование градиента давления:
Поскольку объемная сила f_V в нашем случае является константой по всей ширине b кюветы (мы вывели f_V = \sigma V B / a, и она не зависит от y), то и градиент давления dP/dy также будет постоянным.
Чтобы найти общую разность давлений \Delta P между двумя неметаллическими стенками (которые разделены расстоянием b), мы можем проинтегрировать градиент давления по ширине:
\Delta P = \int_0^b (dP/dy) dy = \int_0^b f_V dy.
Так как f_V константа:
\Delta P = f_V \cdot b.
Это именно тот шаг, который мы использовали в предыдущих выводах. Это выражение для \Delta P учитывает весь “плавный переход” давления от одной стенки к другой, суммируя вклад от каждого бесконечно малого участка dy. -
Связь с гидростатикой:
Теперь, когда мы имеем полную разность давлений \Delta P между стенками, эта разность должна быть уравновешена гидростатической разностью давлений, созданной наклоном поверхности жидкости.
Если поверхность жидкости имеет наклон, то уровень у одной стенки h_1 отличается от уровня у другой стенки h_2.
Разность гидростатических давлений между двумя точками на одном горизонтальном уровне (например, на дне кюветы), но у разных стенок, определяется формулой:
\Delta P_{гидростатическое} = \rho g \Delta h.
где \Delta h = |h_2 - h_1| — это общая разность уровней между этими двумя стенками.В состоянии равновесия эта гидростатическая разность давлений \Delta P_{гидростатическое} должна в точности компенсировать разность давлений \Delta P, вызванную силой Лоренца:
\rho g \Delta h = f_V \cdot b.
Отсюда мы и находим \Delta h.
Итог:
Мы не делим на 2, потому что \Delta h — это уже полная разность высот между двумя точками, которые мы рассматриваем (у двух неметаллических стенок). “Плавное изменение” означает лишь то, что переход от одного уровня к другому происходит равномерно, создавая постоянный градиент давления, который в свою очередь полностью компенсируется постоянной объемной силой. Нет необходимости учитывать “промежуточные” давления более сложным образом, потому что суммарный эффект этого градиента по всей ширине b выражается одной величиной \Delta P, которая затем и уравновешивается \rho g \Delta h.
Надеюсь, это объяснение проясняет, как “плавность” процесса учтена через градиент давления, а не через какой-либо коэффициент деления.
Можешь расписать нахождение общего давления силы Лоренца через интегрирование?
Конечно, Михаил. Давайте рассмотрим, как общая разность давления, создаваемая силой Лоренца, получается через интегрирование, явно демонстрируя, что “промежуточные давления” учтены в градиенте.
Расчет общего давления силы Лоренца через интегрирование
Мы уже установили, что на электролит действует объемная сила Лоренца f_V. Это сила на единицу объема, и ее модуль мы нашли как f_V = \sigma V B / a.
Эта сила, будучи равномерно распределенной по объему жидкости, стремится вызвать ее движение в направлении, перпендикулярном току и магнитному полю (например, вдоль оси y, перпендикулярно неметаллическим стенкам).
Для того чтобы жидкость находилась в гидростатическом равновесии (т.е. не ускорялась в горизонтальном направлении под действием этой силы), должно существовать компенсирующее давление. Это компенсирующее давление возникает за счет перепада давления вдоль направления действия силы.
-
Связь объемной силы с градиентом давления:
В равновесии, объемная сила f_V на каждую единицу объема жидкости должна быть уравновешена градиентом давления. Это означает, что изменение давления dP на бесконечно малом участке dy должно быть связано с объемной силой f_V следующим образом:
dP = f_V \cdot dy
Или, в терминах градиента:
f_V = dP/dy
Где dP/dy — это скорость изменения давления по ширине кюветы (вдоль оси y). -
Интегрирование для нахождения общей разности давлений \Delta P:
Мы хотим найти общую разность давлений \Delta P между одной неметаллической стенкой (пусть y=0) и другой неметаллической стенкой (пусть y=b). Для этого мы должны проинтегрировать градиент давления dP/dy по всей ширине кюветы от y=0 до y=b.\Delta P = \int_{P_1}^{P_2} dP = \int_0^b (dP/dy) dy
Подставляя dP/dy = f_V:
\Delta P = \int_0^b f_V dyПоскольку f_V = \sigma V B / a является константой (она не зависит от координаты y), мы можем вынести ее из-под знака интеграла:
\Delta P = f_V \int_0^b dyВычисляем интеграл:
\int_0^b dy = [y]_0^b = b - 0 = bТаким образом, получаем:
\Delta P = f_V \cdot bПодставляя обратно выражение для f_V:
\Delta P = (\sigma V B / a) \cdot b = \sigma V B b / a
Вывод:
Интегрирование f_V по ширине b кюветы точно учитывает “плавное изменение” давления, суммируя вклад от каждой бесконечно малой области, на которую действует объемная сила. Конечный результат \Delta P = f_V \cdot b представляет собой общую разность давлений между двумя противоположными стенками, вызванную силой Лоренца, действующей на весь объем жидкости между ними. Именно эта полная разность давлений и уравновешивается гидростатической разностью давлений \rho g \Delta h, возникающей из-за разности уровней жидкости.
Таким образом, нет необходимости делить на 2, поскольку интегрирование уже собирает все “промежуточные давления” в единую суммарную разность.
Спасибо!
Пожалуйста, Михаил. Рад, что объяснения были полезны и прояснили нюансы.
Возникли ли у вас новые вопросы по этой задаче или по связанным концепциям, или мы готовы двигаться дальше к следующему интеллектуальному вызову?