Электромагнитная пушка

[Akbar_Bakytbekov]

11.2.12. Электромагнитная пушка состоит из двух длинных пластин, которые замыкаются металлической поперечной планкой массы m, имеющей скользящие контакты с пластинами. Расстояние между пластинами h. Ширина пластин d меньше длины планки, но существенно больше h.
а. Как должно меняться во времени напряжение, подаваемое на пластины с левой стороны, чтобы планка двигалась вправо с постоянным ускорением a? с ускорением bt²?

Можете помочь с пунктом а

[misqwx (misqwwx)]

@eudaimon помоги @Akbar_Bakytbekov с этой задачей. Опиши что происходит и задай несколько вопросов, которые могут привести к ответу. Опиши что вообще происходит в данной задаче.

[eudaimon]

Приветствую, о ищущий знания! Я помогу тебе разобраться с этой интересной задачей об электромагнитной пушке. Давай для начала разберем физическую суть происходящего.

В данной системе мы имеем:

1. Две параллельные проводящие пластины
2. Металлическую планку массой m, которая может скользить между пластинами
3. Напряжение, которое подается с левой стороны пластин

Когда мы подаем напряжение, возникает электрическое поле между пластинами, которое действует на заряды в проводящей планке. Это приводит к появлению тока через планку и, как следствие, возникновению силы Ампера, которая движет планку вправо.

Давайте подумаем вместе. Для начала ответьте на несколько вопросов:

1. Какая связь существует между напряженностью электрического поля E и напряжением U в конденсаторе с расстоянием между пластинами h?

2. Как сила Ампера F связана с током I и магнитным полем B? Вспомните формулу.

3. Если мы хотим получить постоянное ускорение a, какой должна быть сила F согласно второму закону Ньютона?

4. При движении планки в магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции. Как это влияет на ток в планке? (Вспомните правило Ленца)

Если вы ответите на эти вопросы, мы сможем вывести зависимость напряжения от времени U(t) для обоих случаев:

• для постоянного ускорения a
• для ускорения bt²

Какой из этих вопросов кажется вам наиболее понятным для начала рассуждений?

[misqwx (misqwwx)]

Разве тут пластины формируют конденсатор? Ведь планка же скользит на скользящих контактах.

[eudaimon]

О, проницательное замечание! Прошу прощения за поспешные выводы - действительно, я допустил философскую ошибку, не вникнув достаточно глубоко в суть явления. Давайте пересмотрим нашу модель.

Вы абсолютно правы - здесь пластины НЕ работают как конденсатор. Вместо этого, мы имеем дело с проводником (планкой), который движется в магнитном поле и через который протекает ток. Скользящие контакты означают, что планка является частью электрической цепи.

Давайте заново проанализируем систему:

1. При подаче напряжения через планку течет ток I
2. В системе присутствует магнитное поле B (видимо, перпендикулярное плоскости рисунка)
3. При протекании тока возникает сила Ампера: F = BIl, где l - длина планки
4. При движении проводника в магнитном поле возникает ЭДС индукции: ε = Blv

Теперь более корректные вопросы для размышления:

1. Как связаны приложенное напряжение U, ток I и ЭДС индукции ε? (Запишите уравнение электрической цепи)

2. Если планка движется со скоростью v, какая ЭДС индукции возникает в ней? Как она направлена относительно приложенного напряжения?

3. При постоянном ускорении a, как меняется скорость планки со временем? (v = at)

4. Какое напряжение нужно прикладывать, чтобы скомпенсировать ЭДС индукции и обеспечить постоянную силу Ампера (для постоянного ускорения)?

Какой из этих вопросов вы бы хотели разобрать первым для построения решения?

[misqwx (misqwwx)]

Объясни, почему в принципе планка будет двигаться?

[eudaimon]

Ah, прекрасный вопрос! Давайте разберем фундаментальный принцип работы этой электромагнитной пушки.

Когда мы подаем напряжение на пластины, через планку начинает течь электрический ток (так как она имеет скользящие контакты с пластинами). Ток течет перпендикулярно длине планки - от одной пластины к другой.

Ключевой момент: в системе должно присутствовать магнитное поле B, направленное перпендикулярно плоскости рисунка (хотя это явно не указано в условии задачи, это необходимый элемент конструкции электромагнитной пушки).

Когда ток течет через проводник (планку), находящийся в магнитном поле, возникает сила Ампера. Направление силы Ампера определяется правилом левой руки:

• Ладонь располагаем так, чтобы линии магнитного поля входили в неё
• Четыре пальца направляем по направлению тока
• Отогнутый большой палец покажет направление силы

В данном случае:

• Магнитное поле B перпендикулярно плоскости
• Ток I течет между пластинами
• Сила F получается направленной вправо

Именно эта сила Ампера F = BIl (где l - длина планки) и заставляет планку двигаться вправо.

Теперь, когда мы понимаем принцип движения, можем ли мы сформулировать, что происходит с этой силой при движении планки? Как движение планки влияет на всю систему?

[misqwx (misqwwx)]

Если в условие не указано, что есть внешнее магнитного поля, значит его нет. Не делая поспешных выводов, разбери систему ещё раз и что происходит

[eudaimon]

О мудрое замечание! Действительно, я совершил философскую ошибку, предполагая то, чего нет в условии. Давайте рассмотрим систему заново, опираясь только на то, что дано:

1. Две параллельные пластины
2. Металлическая планка со скользящими контактами
3. Напряжение подается с левой стороны

Когда мы подаем напряжение, через планку течет ток. При протекании тока по проводнику создается собственное магнитное поле вокруг этого проводника (по закону Био-Савара-Лапласа).

А вот это интересный момент! Получается:

• Ток течет по пластинам слева направо
• По планке ток течет перпендикулярно между пластинами
• Это создает конфигурацию магнитного поля, где поле от тока в пластинах взаимодействует с током в планке

Вопрос для размышления: Как будут взаимодействовать параллельные токи в пластинах и перпендикулярный им ток в планке? Какие силы возникнут в этом случае?

Возможно, это и есть механизм, создающий движущую силу в данной системе, без необходимости внешнего магнитного поля?

[misqwx (misqwwx)]

Мне кажется, что так как из-за изменения потока магнитного поля появляется ЭДС, то будет меняться разница потенциалов между пластин. Но как это способствует движению планки?

[eudaimon]

А, вот теперь мы приближаемся к сути! Давайте проследим цепочку событий:

1. На левом конце подаётся напряжение между пластинами
2. Из-за наличия скользящих контактов, через планку течёт ток
3. При движении планки действительно будет меняться магнитный поток через область между пластинами, что создаёт ЭДС индукции

Но вы задали ключевой вопрос - как это приводит к движению?

Давайте подумаем: если мы подаём напряжение с левой стороны, то между левым и правым концом пластин возникает разность потенциалов. А поскольку планка имеет скользящие контакты, через неё будет течь ток.

Получается интересная картина:

• На левом конце потенциал задаётся нашим источником напряжения
• На правом конце потенциал другой
• Это создаёт электрическое поле не только поперёк пластин, но и вдоль них

Может быть, именно эта продольная составляющая электрического поля и создаёт силу, действующую на заряды в планке в направлении её движения?

Как вы думаете, если это так, то как должно меняться напряжение со временем, чтобы поддерживать постоянное ускорение планки?

[misqwx (misqwwx)]

Как вывести электрическое поле ВДОЛЬ пластин?

[eudaimon]

Прекрасный аналитический вопрос!

Давайте рассмотрим, как распределяются потенциалы:

• На левом конце мы прикладываем разность потенциалов U между пластинами
• На правом конце пластины ничем не соединены
• В любой точке вдоль пластин разность потенциалов между ними может быть разной

Чтобы найти поле вдоль пластин, нам нужно понять, как меняется потенциал вдоль каждой пластины.

Предлагаю рассмотреть более простой вопрос для начала:
Если через планку течёт ток I, что происходит с зарядами в самих пластинах? Ведь ток должен замыкаться через источник. Как распределится ток в пластинах и как это повлияет на распределение потенциала вдоль них?

(Подсказка: подумайте о законе Ома для участка цепи и о том, что пластины обладают сопротивлением)

Какие ваши мысли по этому поводу?

[misqwx (misqwwx)]

Найди пожалуйста сам, показав все вычисления.

[eudaimon]

Согласен, давайте выведем это математически.

1. Сначала рассмотрим ток в пластинах. Если в планке течёт ток I, то:

• В верхней пластине слева от планки течёт ток I
• Справа от планки ток равен 0
• В нижней пластине аналогично, но в противоположном направлении

2. По закону Ома для участка цепи:

E = ρj

где E - напряжённость электрического поля, ρ - удельное сопротивление, j - плотность тока.

3. Для пластины сечением S:

j = \frac{I}{S}

4. Значит, в области слева от планки:

E = \frac{ρI}{S}

А справа от планки E = 0 (так как там нет тока)

5. Поскольку E = -∇φ, то интегрируя вдоль пластины:

φ(x) = φ_0 - \frac{ρI}{S}x

для x от 0 до положения планки

6. Таким образом, потенциал линейно падает вдоль пластины до положения планки, создавая постоянное продольное электрическое поле E_x = \frac{ρI}{S} слева от планки.

7. Разность потенциалов между пластинами в точке x:

U(x) = U_0 - \frac{2ρI}{S}x

где U₀ - начальное напряжение источника

А вот теперь интересный момент - это продольное поле действует на заряды в планке, создавая силу в направлении движения:

F = qE_x = q\frac{ρI}{S}

Это и есть механизм, обеспечивающий движение планки!

Что вы думаете об этом выводе? Какие физические следствия из него вытекают?

[misqwx (misqwwx)]

Загвоздка в том, что нам не дан заряд планки. Что же делать в таком случае?

[eudaimon]

О, мудрое наблюдение! Действительно, мы не можем использовать формулу F = qE, так как заряд планки нам неизвестен.

Давайте подумаем иначе. У нас есть:

• Ток I, текущий через планку
• Электрическое поле E вдоль пластин
• Длина планки l (расстояние между пластинами)

Вспомните: ток - это упорядоченное движение заряженных частиц. В металле это электроны, и их движение происходит с некоторой дрейфовой скоростью.

Ключевой вопрос: как можно выразить силу, действующую на движущиеся заряды в проводнике, через ток, а не через заряд?

Подсказка: ток I связан с зарядом q и временем dt соотношением:

I = \frac{dq}{dt}

Как бы вы преобразовали выражение для силы, используя эту связь?

[misqwx (misqwwx)]

Ладно, просто полностью реши задачу сам показав все вычисления

[eudaimon]

Хорошо, давайте решим задачу полностью.

1. В нашей системе тело движется с постоянным ускорением, значит по второму закону Ньютона:

F = ma

2. В проводнике с током I, находящемся в электрическом поле E, сила, действующая на носители тока:

F = Il\frac{ρI}{S}

где:

• l - длина планки (расстояние между пластинами)
• ρ - удельное сопротивление пластин
• S - площадь поперечного сечения пластин
• I - ток через планку

3. Приравняем эти выражения:

ma = Il\frac{ρI}{S}

4. Ток I связан с приложенным напряжением U через сопротивление цепи:

I = \frac{U}{R}

где R - полное сопротивление цепи

5. Подставляя:

ma = \frac{U}{R}l\frac{ρ}{S}\frac{U}{R} = \frac{U^2l\rho}{R^2S}

6. При постоянном ускорении:

U^2 = \frac{maR^2S}{l\rho}

7. Так как ускорение постоянно, а все остальные величины (R, S, l, ρ) тоже постоянны, то:

U = k\sqrt{t}

где k = \sqrt{\frac{2maR^2S}{l\rho}}

Таким образом, для поддержания постоянного ускорения планки напряжение должно расти пропорционально корню из времени.

Физический смысл:

• По мере движения планки в ней возникает ЭДС индукции, противодействующая движению
• Чтобы поддерживать постоянное ускорение, нужно увеличивать напряжение источника
• Закон U ~ √t обеспечивает компенсацию этой ЭДС и постоянство ускорения

Это решение показывает глубокую связь между электромагнитными и механическими явлениями в данной системе.

[misqwx (misqwwx)]

Жаль, но твой ответ неправильный. Правильный ответ:
Для случая с постоянным ускорением:

V_1=t\sqrt{\frac{2\mu_1 ma^3}{hd}}

А если ускорение зависит от времени по закону a=bt^2, то:

V_2 = t^3 \sqrt{\frac{32\mu_0 mb^2}{9hd}}

Переделай свое решение, исправив свои ошибки