Теория Бора атома водорода (вывод формулы)

То есть они сперва вывели r_1 для водорода и взяли, что у всех водородоподобных атомов тоже радиус равен r_1 ? Просто в книге написано, что 0.0529 нм это радиус водорода
image

нет, они вывели в общем случае для атома с зарядом ядра Z и одним электроном, численный расчёт идёт для случая с радиусом на первом (n=1) энергетическом уровне для атома водорода с зарядом ядра Z=1. умей читать формулы

1 симпатия

Значит формула r_n = r_1 \frac{n^2}{Z} только для водорода и изотопам водорода ?

Нет, она для всех водородопрдобных атомов. То что r_1 является радиусом водорода совсем не значит, что r_n , который получится в ответе, тоже будет радиусом водорода. Суть формулы в том, что когда ты умножаешь радиус водорода r_1 на n и Z какого-то водородоподобного атома, то ты получишь радиус этого водородоподобного атома. К примеру, мы хотим узнать радиус водородоподобного атома C^{11+}, когда его электон находится на третьем энергетическом уровне. Для этого нам нужно взять n=3 и Z=11 . Подставим в формулу и получим:

r_3(C^{11+}) = r_1 \frac{3^2}{11} = \pu{0.0529 nm} \cdot \frac{9}{11} = \pu{0.0433nm}

Вот, мы умножили радиус водорода на \frac{3^2}{11} и получили радиус для C^{11+} с электроном на третьем уровне. Как уже сказал @DrMrmld, эта формула работает только потому, что мы можем заменить \frac{\hbar^2}{m_ee^2} на радиус водорода, ведь:

r_1 = \frac{\hbar^2}{m_ee^2} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{\hbar^2}{m_ee^2}

Если бы радиус водорода не равнялся этой дроби, то вместо r_1 в формуле бы просто оставили \frac{\hbar^2}{m_ee^2}, либо придумали бы новую константу и дали бы ей значение этой дроби. Эта замена делается только ради удобства, ведь в каждом вычислении дробь \frac{\hbar^2}{m_ee^2} одинаковая, и каждый раз считать одно и тоже значение занимает время, поэтому проще заменить эту дробь на готовое значение этой дроби, ведь оно не поменяется, какой бы мы не считали радиус. И просто так получилось, что это не меняющееся значение дроби равно радиусу атома водорода с электроном на первом уровне, поэтому его и записывают в формуле вместо \frac{\hbar^2}{m_ee^2}, опять же, чисто ради удобства вычислений.

3 симпатии

Что было первым, а что вторым — говорить трудно, но можно осмыслить то, что происходило. Когда работаем с переменными или с константами, хорошо понимать, что они означают, какой смысл имеют. Например, есть обычная масса атома водорода — m_\text{H} \approx 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}, но если умножить это на число Авогадро, то получится молярная масса атома водорода, в этом и есть смысл выражения m_\text{H}N_\text{A}.

Здесь довольно похожая ситуация. Каждый раз при вычислениях ты вводишь три константы, и теперь ты захотел их всех объединить в одну константу — const_{\text{new}} = \frac{\hbar^2}{me^2} (пока у константы нет названия). Но ты пока не знаешь, какой смысл несет новая константа. При этом ты смотришь на свою формулу и она принимает вид

r_n = const_\text{new} \cdot \frac{n^2}{Z}

Теперь ты замечаешь, что если подставить в нее n=1 и Z=1, то получится твоя константа. Теперь:

  1. Дробь \frac{n^2}{Z} не имеет размерности, поэтому твоя константа имеет размерность длины
  2. Ты подставил n=1, а значит это что-то для первого уровня
  3. Ты подставил Z=1, а значит это что-то для атома, с атомным номером 1 (угадай какой это атом)
  4. Сама формула была для радиуса орбиты, а значит твой результат — это радиус орбиты, потому что умножение и деление на 1 абсолютно ничего не изменило в константе.

На этом моменте ты должен был понять, что твоя константа — это радиус орбиты для первого уровня в атоме водорода (пункт 3 выше). Ты нашел физический смысл набора констант, которых ты совместил в одну. Поэтому ты решаешь назвать эту константу r_1, чтобы она отражала свой физический смысл. А формула теперь еще немного преобразовалась:

r_n = r_1 \cdot \frac{n^2}{Z}

Здесь есть переменная Z, значит мы можем использовать эту формулу для атомов, у которых Z \neq 1 (потому что можно подставить 2, например), а это уже говорит о том, что формула работает не только для атома водорода. Но при выводе мы не учитывали отталкивание между электронами внутри атома, поэтому лучше всего эта формула будет работать для атомов с одним-единственным электроном (это и есть водородоподобные атомы), так как отталкиваться будет не с кем и учитывать ничего дополнительного не надо.

4 симпатии
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)