То есть они сперва вывели r_1 для водорода и взяли, что у всех водородоподобных атомов тоже радиус равен r_1 ? Просто в книге написано, что 0.0529 нм это радиус водорода
2 лайка
нет, они вывели в общем случае для атома с зарядом ядра Z и одним электроном, численный расчёт идёт для случая с радиусом на первом (n=1) энергетическом уровне для атома водорода с зарядом ядра Z=1. умей читать формулы
3 лайка
Значит формула r_n = r_1 \frac{n^2}{Z} только для водорода и изотопам водорода ?
2 лайка
Нет, она для всех водородопрдобных атомов. То что r_1 является радиусом водорода совсем не значит, что r_n , который получится в ответе, тоже будет радиусом водорода. Суть формулы в том, что когда ты умножаешь радиус водорода r_1 на n и Z какого-то водородоподобного атома, то ты получишь радиус этого водородоподобного атома. К примеру, мы хотим узнать радиус водородоподобного атома C^{11+}, когда его электон находится на третьем энергетическом уровне. Для этого нам нужно взять n=3 и Z=11 . Подставим в формулу и получим:
r_3(C^{11+}) = r_1 \frac{3^2}{11} = \pu{0.0529 nm} \cdot \frac{9}{11} = \pu{0.0433nm}
Вот, мы умножили радиус водорода на \frac{3^2}{11} и получили радиус для C^{11+} с электроном на третьем уровне. Как уже сказал @DrMrmld, эта формула работает только потому, что мы можем заменить \frac{\hbar^2}{m_ee^2} на радиус водорода, ведь:
r_1 = \frac{\hbar^2}{m_ee^2} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{\hbar^2}{m_ee^2}
Если бы радиус водорода не равнялся этой дроби, то вместо r_1 в формуле бы просто оставили \frac{\hbar^2}{m_ee^2}, либо придумали бы новую константу и дали бы ей значение этой дроби. Эта замена делается только ради удобства, ведь в каждом вычислении дробь \frac{\hbar^2}{m_ee^2} одинаковая, и каждый раз считать одно и тоже значение занимает время, поэтому проще заменить эту дробь на готовое значение этой дроби, ведь оно не поменяется, какой бы мы не считали радиус. И просто так получилось, что это не меняющееся значение дроби равно радиусу атома водорода с электроном на первом уровне, поэтому его и записывают в формуле вместо \frac{\hbar^2}{m_ee^2}, опять же, чисто ради удобства вычислений.
5 лайков
Что было первым, а что вторым — говорить трудно, но можно осмыслить то, что происходило. Когда работаем с переменными или с константами, хорошо понимать, что они означают, какой смысл имеют. Например, есть обычная масса атома водорода — m_\text{H} \approx 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}, но если умножить это на число Авогадро, то получится молярная масса атома водорода, в этом и есть смысл выражения m_\text{H}N_\text{A}.
Здесь довольно похожая ситуация. Каждый раз при вычислениях ты вводишь три константы, и теперь ты захотел их всех объединить в одну константу — const_{\text{new}} = \frac{\hbar^2}{me^2} (пока у константы нет названия). Но ты пока не знаешь, какой смысл несет новая константа. При этом ты смотришь на свою формулу и она принимает вид
r_n = const_\text{new} \cdot \frac{n^2}{Z}
Теперь ты замечаешь, что если подставить в нее n=1 и Z=1, то получится твоя константа. Теперь:
- Дробь \frac{n^2}{Z} не имеет размерности, поэтому твоя константа имеет размерность длины
- Ты подставил n=1, а значит это что-то для первого уровня
- Ты подставил Z=1, а значит это что-то для атома, с атомным номером 1 (угадай какой это атом)
- Сама формула была для радиуса орбиты, а значит твой результат — это радиус орбиты, потому что умножение и деление на 1 абсолютно ничего не изменило в константе.
На этом моменте ты должен был понять, что твоя константа — это радиус орбиты для первого уровня в атоме водорода (пункт 3 выше). Ты нашел физический смысл набора констант, которых ты совместил в одну. Поэтому ты решаешь назвать эту константу r_1, чтобы она отражала свой физический смысл. А формула теперь еще немного преобразовалась:
r_n = r_1 \cdot \frac{n^2}{Z}
Здесь есть переменная Z, значит мы можем использовать эту формулу для атомов, у которых Z \neq 1 (потому что можно подставить 2, например), а это уже говорит о том, что формула работает не только для атома водорода. Но при выводе мы не учитывали отталкивание между электронами внутри атома, поэтому лучше всего эта формула будет работать для атомов с одним-единственным электроном (это и есть водородоподобные атомы), так как отталкиваться будет не с кем и учитывать ничего дополнительного не надо.
6 лайков
@Alisher добрый вечер, не могли бы показать как решать эти уравнения (чтобы получить выражение для энергии, с новыми СИ) в системе СИ? Без 4pЭпсилон так легко получается… а тут… еще вопрос, почему если поменять электрон на антипротон, то мы используем приведенную массу, а не массу электрона? (Она используется даже если считать через эВ, иначе конечный ответ ровно в два раза большн получится) Вот :
И куда делась пи в последней формуле? Там же снизу пи должен был быть (квадрат бы ушел вместо с пи сверху)
1 лайк
Просто помножаете на все константы и все, они просто мертвым грузом тащатся за вами в процессе вывода формул.
В строгом выводе теории Бора используется приведенная масса системы, просто когда у вас одна из частиц это электрон, приведенная масса практически равна массе электрона. С протоном уже не так все просто.
2 лайка