1 лайк
потому что в таких консервативных системах, как электрическое поле, сила равна производной энергии c отрицательным знаком.
Грубо говоря, в таких системах механическая энергия тела неизменна. Это значит, что
E_\text{total} = K + P = \text{const}.
Тогда, по теореме кинетической энергии, работа силы равна:
W = K_\text{final} - K_\text{initial}
Зная, что E_\text{total} = \text{const}:
\begin{gathered}
E_\text{initial} = E_\text{final} \\
K_\text{initial} + P_\text{initial} = K_\text{final} +P_\text{final} \\
K_\text{final} - K_\text{initial} = P_\text{initial} - P_\text{final}
\end{gathered}
\begin{gathered}
W = P_\text{initial} - P_\text{final} \\
W = -(P_\text{final} - P_\text{initial})
\end{gathered}
Работу запишем как:
W = F \cdot \Delta S
В нашем случае \Delta S это \Delta r:
\begin{gathered}
-(P_\text{final} - P_\text{initial}) = F \cdot \Delta r \\
-\Delta P = F \cdot \Delta r \\
-\frac{\text{d}P}{\text{d}r} = F
\end{gathered}
P.S. ты кажется не это имел в виду, да? Я просто подумал, что ты говорил про то, почему нет квадрата над r.
1 лайк
Просто в выражении для потенциальной энергии за r обозначено расстояние между двумя зарядами, а в выражении для силы \vec{r_1} и \vec{r_2} это радиус-векторы двух зарядов. Радиус вектор какой-то точки это вектор с началом в начале координат и концом в этой точке.
\vec{r_2} - \vec{r_1} — вектор с началом в точке 1 (где находится первый заряд) и концом в точке 2 (где находится второй заряд). Его модуль — |\vec{r_2} - \vec{r_1}| — даст расстояние между двумя точками, потому что это модуль – это длина вектора. |\vec{r_2} - \vec{r_1}| в нижнем выражении это то же, что и r в выражении сверху.
3 лайка
Если не ошибаюсь, в неконсервативных аналогично, просто производную нужно брать от потенциальной энергии а не от полной. Или от полной, но частную производную, при постоянных импульсах (уравнения Гамильтона)
1 лайк
потому что сила – векторная величина, а энергия – скалярная.
И поэтому в силе используется \vec{r_2}-\vec{r_1}, что можно с таким же успехом просто обозначить как \vec{r_{21}}. Когда мы говорим о векторных величинах – нам важно знать направление.
А со скалярными – достаточно знать их величину.
Да. Надо было уточнить😅. Я хотел спросить почему там нет квадрата.