Теория Бора атома водорода (вывод формулы)



Какие дополнительные нужны знания, чтобы доказать, что

\frac{n^2 \hbar ^2}{mZe^2}=r_1\frac{n^2}{Z}

?

Немного преобразуем первое равенство:

m V^2r = Z e^2
m^2 V^2 r^2 = Ze^2mr

Используем второе:

\hbar^2 n^2 = Ze^2mr
r = \frac{ \hbar^2 n^2 }{ m Z e^2}

Это они обозначили как r_n, r в зависимости от n.
Если подставить в это уравнение n=1 и Z=1, то по сути мы получим радиус для первого уровня в атоме с зарядом ядра 1. Это значение они просто решили обозначить за r_1 и преобразовали выражение. Так делать может быть удобным, потому что тогда надо будет при вычислениях ввести лишь одну константу, чем 10 000 раз вводить одни и те же константы (\hbar, m_e, e).

Но мне не ясно, почему они не добавили \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} в выражении для силы притяжения электрона. @Alisher есть мысли?

5 симпатий

(4\pi\varepsilon_0)^{-1} является коэффициентом чисто в системе СИ. Уравнение второго закона Ньютона записано в гауссовой системе, для которой численный коэффициент в законе Кулона равен k=1 (для СИ и берётся k=(4\pi\varepsilon_0)^{-1}). Так что и числовые значения постоянных меняются:

m=\pu {9.11 \cdot 10^{-28} g} \newline e=\pu {4.8\cdot 10^{-10} ед СГСЭ} \newline \hbar=\pu {1.05\cdot 10^{-27} эрг.с}
1 симпатия

Там есть звездочка

да ладно, верни

Спасибо. Думал, что Z какая-то константа как G в формуле всемирного тяготения. А что такое вообще Z? В чем его смысл?

Это заряд ядра (атомный номер). Для водорода равен 1, для неона — 10. Если Z умножить на e, то получится заряд ядра в кулонах.

3 симпатии

атомный номер ядра

3 симпатии

Где можно прочитать про силу притяжения электрона к ядру? Не могу найти

3 симпатии

Разве не бессмысленно остовлять Z в r_n= r_1 \frac{n^2}{Z} ? r_1 это радиус водорода для первого уровня. Мы не можем использовать эту формулу для других атомов, так как только водород и его изотопы имеют 1 протон в ядре. Поэтому можно сразу записать r_n=r_1 \cdot n^2 . Так?

Мы можем использовать эту формулу для водородоподобных ионов - ионов с одним электроном, но зарядом ядра больше одного: He^+ , Li^{2+}, Be^{3+}, и т.д.

2 симпатии

По идее никто не запрещает использовать ее. Как сказано выше, формулу можно использовать для водородоподобных атомов. Более того, нам никто не запрещает ее использовать для обычных атомов. В таком случае при вычислениях будет какая-то определенная неточность, но даже так это может быть полезным для просто оценки или сравнения радиусов или для оценки влияния взаимодействия электронов на радиус уровней.

Я говорю про r_n=r_1\frac{n^2}{Z} . Это формула же только для водорода и их изотопам?

Не только. Если хочешь использовать для водорода и его изотопов, то да, можно Z убрать из формулы, потому что во всех этих случаях оно будет равно 1. Если хочешь для других атомов, Z не будет равно 1, поэтому нельзя просто забыть про него

1 симпатия

Строго говоря только для водородоподобных атомов (т.е. атомов или частиц с одним электроном). Ибо только тогда выполняется равенство

Если же в атоме/частице больше одного электрона, то надо начинать учитывать межэлектронное отталкивание.

Z( He^{+} )=2
r_1(He+)=\frac{\hbar ^2}{2me^2}
r_n=\frac{\hbar ^2}{2me^2} \cdot n^2=r_1(He^+) \cdot n^2

У меня почему-то отсутствует Z. Где я допустил ошибку?

Ну так вот же двойка в знаменателе, ты сразу подставил Z=2

По формуле из книги должно быть так

r_n(He^+)=r_1(He^+)\frac{n^2}{2}

Но у меня почему-то отсутствует 2 в знаменателе

Ты накосячил с r_1. В книге за r_1 обозначили \frac{\hbar^2}{me^2}, то есть это должна была быть просто константа, которая не зависит от того, какая частица тебе нужна. А Z уже выносится в формуле для r_n.

По сути ты переопределил r_1 (назвав ее r_1(\ce{He+}) и сделав ее константой для гелия) и уже учел Z, поэтому не пригодилось в формуле для r_n.

6 симпатий
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)