Нормировка 1s орбитали

Химия Квантовая химия
1

Можете помочь с нормировкой волновой функции для 1s орбитали ?

Я как-то пробую, пробую, но у меня не получается (где-то допустил ошибку, но не могу найти, где). Ниже представлены мои выкладки :

\psi _{1s} = N \cdot e^{-\frac{r}{a_{0}}}
dV = 4 \pi a_{0}^{2} \cdot dr
\int \psi_{1s}^{2} dV = 4\pi a_{0}^{2}N^{2} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{2r}{a_{0}}} dr = 1
\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{2r}{a_{0}}} dr =-\frac{a_{0}}{2} \cdot e^{-\frac{2 \cdot \infty}{a_{0}}} + \frac{a_{0}}{2} \cdot e^{-\frac{2 \cdot 0}{a_{0}}} = \frac{a_{0}}{2}
4\pi a_{0}^{2}N^{2} \cdot \frac{a_{0}}{2} = 1
N = \sqrt{\frac{1}{2 \pi a_{0}^{3}}}
\psi _{1s} = \sqrt{\frac{1}{2 \pi a_{0}^{3}}} \cdot e^{-\frac{r}{a_{0}}}

Посмотрел в интернете истинное значение N, и понял что у меня лишняя двойка :smiling_face_with_tear:

2 лайка
2

Я конечно не химик, но мне тоже интересно стало. И я так смотрю и не могу понять почему ты здесь не берёшь dV = 4 \pi r^2 \cdot dr, потому что выходит так, будто ты берёшь фиксированную площадь поверхности шара и меняющийся радиус шара

И ещё, я не совсем понимаю, почему мы берём что \psi^2 = \psi \cdot \psi, а не \psi^2 = \psi^* \psi

4 лайка
3

Возможно если взять:

dV=4\pi r^2 dr

и в конечном выражении сделать замену:

r=a_0 \cdot c

где c>1, то получится правильный ответ.

4 лайка
4

Щас попробовал решить используя dV = 4 \pi r^2 dr и у меня вышло

N = \sqrt{\frac {1}{\pi a_0^3}}

Не знаю, насколько это правильно — ответа в интернете не смог найти, но двойки нет

Что я делал
4 \pi N^2 \int _0^{+\infty} r^2 e^{-\frac {2r}{a_0}}dr = 0

Этот интеграл можно представить в виде другого интеграла и использовать integration by parts

\int u \text d v = uv - \int v \text d u

u = r^2
\text d v = e^{-\frac {2r}{a_0}} \text d r
Далее находим
du = 2r \text d u
v = - \frac {a_0} {2} e^{-\frac {2r}{a_0}}
Подставляем всё это в верхнее равенство, а потом повторяем то же самое для

\int r e^{-\frac {2r}{a_0}}dr

и приходим к ответу

5 лайков
5

\psi = \psi^*. Поэтому это одно и тоже

1 лайк
6

Я же правильно понимаю, что это только для данного случая?

1 лайк
7

Да, потому что в этом случае у волновой функции нет мнимой части. Если бы была, то использовали бы сопряжённую пару.

3 лайка
8

Ясно, спасибо

9

Ну дак для любого действительного числа сопряженное равно ему самому

2 лайка