Как было сказано в Hint-e, нужно рассмотреть изменение импульса при ударе о землю.
Распиши закон сохранения импульса в вертикальном и горизонтальном проекциях и найди горизонтальную скорость бруска после удара о землю.
Нахождение горизонтальной скорости
Скорость и угол падения кирпича равны скорости и углу броска его. Вертикальная компонента импульса равна
и она гасится из-за силы реакции опоры (p_y + \int Ndt = 0)
Дальше нужно рассмотреть изменение горизонтальной компоненты импульса из-за силы трения μN
Спойлер
Нахождение угла θ
Как мы получили,
Расстояние точки остановки бруска высчитывается как:
Берём производную этого выражения по θ и приравниваем к нулю для экстремума.
Производная в выражении внутри большой скобки:
Как мы видим из решения для v_x, нужно, чтобы соблюдалось условие μ \leq tanθ, в ином случае брусок сразу останавливается в точке падения, так что при μ > tanθ мы получаем решение θ=45°. Вообще, это соответствует μ>1, что в реальности работает практически только для некоторых коэффициентов трения покоя (а здесь играет роль трение скольжения). Но и тут можно обратить внимание на то, что в интервале 1<μ<2 арктангенс берётся из отрицательного числа, поэтому нам нужно бросать вниз в землю (???). Делаем окончательный вывод: попытка рассмотрения граничных условий в этой задаче является излишним, и брусок всегда будет скользить при правильном подборе такого угла θ, чтобы достигать максимального L.
Спасибо за решение!
P.S. Можем ли мы рассмотреть случай где брусок ударяется о землю несколько раз?(в теории)
Конечно. Если рассматривать, например, абсолютно упругий удар о землю, то изменение вертикальной компоненты импульса вследствие действия реакции опоры будет равно Δp=2mvsinα, и соответственно изменение горизонтальной компоненты импульса равно μΔp. В остальном работаем примерно так, как выше. В этом случае тело прекратит движение, когда изменение импульса μΔp превысит горизонтальную проекцию импульса до удара, и оно начнёт подпрыгивать на одном месте.
Если рассматривать реальный удар, то нужно учесть изменение проекции скорости кирпича на вертикаль после удара (по сравнению с аналогичным предыдущим положением) вследствие потери энергии. В некоторых задачах для этого используют коэффициент восстановления k, суть отношение кинетической энергии после удара к кинетической энергии до удара. В конечном итоге кирпич тоже остановится, как и в случае выше, а в теории набираемая им максимальная высота с каждым ударом будет асимптотически стремиться к нулю (на деле здесь играют роль такие факторы, как деформация, распространение волн внутри тела, приближение характера удара к абсолютно неупругому при очень малых подскоках).