Throwing a brick

Как было сказано в Hint-e, нужно рассмотреть изменение импульса при ударе о землю.
Распиши закон сохранения импульса в вертикальном и горизонтальном проекциях и найди горизонтальную скорость бруска после удара о землю.

Нахождение горизонтальной скорости

Скорость и угол падения кирпича равны скорости и углу броска его. Вертикальная компонента импульса равна

p_y=mvsinθ,

и она гасится из-за силы реакции опоры (p_y + \int Ndt = 0)
Дальше нужно рассмотреть изменение горизонтальной компоненты импульса из-за силы трения μN

Спойлер
p_{x0}=mvcosθ
p_x = p_{x0} + \int μNdt =p_{x0} + μ\int Ndt=p_{x0} - μp_y
mv_x=mvcosθ-μmvsinθ
Нахождение угла θ

Как мы получили,

v_x=vcosθ-μvsinθ

Расстояние точки остановки бруска высчитывается как:

L= \frac {2v^2sinθcosθ}{g} + \frac {v_x^2}{2g}=\frac{v^2}{2g} · (4sinθcosθ + (cosθ-μsinθ)^2)

Берём производную этого выражения по θ и приравниваем к нулю для экстремума.
Производная в выражении внутри большой скобки:

2((2-μ)cos^2θ+(μ^2−1)sinθsinθ-(2−μ)sin^2θ) = 0
(4-2μ)cos(2θ) = (1-μ^2)sin(2θ)
θ=\frac{1}{2}arctan(2\frac{2-μ}{1-μ^2})

Как мы видим из решения для v_x, нужно, чтобы соблюдалось условие μ \leq tanθ, в ином случае брусок сразу останавливается в точке падения, так что при μ > tanθ мы получаем решение θ=45°. Вообще, это соответствует μ>1, что в реальности работает практически только для некоторых коэффициентов трения покоя (а здесь играет роль трение скольжения). Но и тут можно обратить внимание на то, что в интервале 1<μ<2 арктангенс берётся из отрицательного числа, поэтому нам нужно бросать вниз в землю (???). Делаем окончательный вывод: попытка рассмотрения граничных условий в этой задаче является излишним, и брусок всегда будет скользить при правильном подборе такого угла θ, чтобы достигать максимального L.

1 симпатия

Спасибо за решение!

P.S. Можем ли мы рассмотреть случай где брусок ударяется о землю несколько раз?(в теории)

Конечно. Если рассматривать, например, абсолютно упругий удар о землю, то изменение вертикальной компоненты импульса вследствие действия реакции опоры будет равно Δp=2mvsinα, и соответственно изменение горизонтальной компоненты импульса равно μΔp. В остальном работаем примерно так, как выше. В этом случае тело прекратит движение, когда изменение импульса μΔp превысит горизонтальную проекцию импульса до удара, и оно начнёт подпрыгивать на одном месте.

Если рассматривать реальный удар, то нужно учесть изменение проекции скорости кирпича на вертикаль после удара (по сравнению с аналогичным предыдущим положением) вследствие потери энергии. В некоторых задачах для этого используют коэффициент восстановления k, суть отношение кинетической энергии после удара к кинетической энергии до удара. В конечном итоге кирпич тоже остановится, как и в случае выше, а в теории набираемая им максимальная высота с каждым ударом будет асимптотически стремиться к нулю (на деле здесь играют роль такие факторы, как деформация, распространение волн внутри тела, приближение характера удара к абсолютно неупругому при очень малых подскоках).

2 симпатии
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)