Берём производную и находим, что мощность максимальна при массе m = m_0/2.
Но что меняется во второй задаче при добавлении зубчатой передачи? Понятно, что если шестерня, надетая на вал, вращается с угловой скоростью ω, то угловая скорость зубчатого колеса равна
ω' = \frac{n_1}{n_2}ω.
Тогда мощность будет равна
N = mgω'r =\frac{n_1}{n_2}ω_0gr \Bigr(m - \frac{m^2}{m_0}\Bigl).
Но максимум этой функции снова достигается при m = m_0/2. А правильный ответ
В первой задаче угловая скорость вала зависит от массы.
Ты уверен что во второй задаче угловая скорость продолжит иметь именно такую зависимость? Ведь теперь на двигатель при массе m сила тяжести передается через шестерню.
Двигатель не знает какую массу загрузили на подъемник и не знает через шестерню его подключили или нет. Он лишь знает силу, которая ему “сопротивляется”. Поэтому зависимость \displaystyle \omega=\omega_0 \left(1-\frac{m}{m_0} \right) на самом деле зависимость \displaystyle \omega=\omega_0 \left(1-\frac{F}{F_0} \right)
Учитывая это, можно сразу понять, что для двигателя из второй задачи, масса m передает такую же силу через шестерню, как если бы это был груз \displaystyle \frac{n_1}{n_2}m но напрямую через вал
N = mgω'r =\frac{n_1}{n_2}ω_0gr \Bigr(m - \frac{m^2 n_1}{m_0 n_2}\Bigl).
2.4.41*. Подъемник из предыдущей задачи переоборудовали, присоединив вал двигателя к барабану не непосредственно, а через зубчатую передачу. Насаженная на вал двигателя шестерня имеет n1 зубцов; зубчатое колесо жестко соединенное с барабаном, имеет n2 зубцов. При какой массе поднимаемого груза достигает максимальная полезная мощность подъемника? Потерями мощности в передаче пренебречь.
Хоть Вы и не просите решения, но для гостей сайта и вообще пользователям будет полезно если они хотят понять решение данной задачи. Также, мы будем признательны если в следующие разы Вы будете писать условие задач текстом. В этом посте написано причина этого,
Но как это строго показать? Если пытаться найти силу через второй закон Ньютона, такой результат не получается, потому что линейная скорость движения груза остаётся прежней: угловая скорость может, например, вырасти, если n_2 < n_1, но во столько же раз уменьшится радиус.
Радиус вала подъемника не меняли. Хочешь строго, придется через моменты сил считать и отдельно брать угловую скорость для вала подъемника и угловую скорость для вала двигателя. Зависимость угловой скорости двигателя тогда записать можно через момент силы, приложенный к его валу \displaystyle \omega=\omega_0 \left(1-\frac{M}{M_0} \right)
Но разве два вала соединенные через шестерни это не классический случай на который можно ссылаться?
Я правильно понимаю, что P=mgv потому что есть сила mg против которой мы совершаем работу. Если груз поднимается на s, то работа W=mgs, а P=\frac{dW}{dT}=mgv?
Тогда, может быть, лучше рассуждать так? Рассмотрим ненагруженный подъёмник (m = 0). Его мощность есть произведение момента силы на угловую скорость: N = M_0ω_0.
После подключения зубчатой передачи мощность никак не меняется. Значит, если максимальная угловая скорость возрастает в \frac {n_1}{n_2} раза, максимальный момент силы падает во столько же раз и становится равен M_0' = M_0\frac {n_2}{n_1}.
Зависимость угловой скорости:
Это необязательно. По сути говоря, начальный крутящий момент был равен M_0=mgr, где r был радиусом барабана. Когда же в системе начали использовать шестерни, то передаваемый момент теперь равен
M=\displaystyle M_0\frac{n_1}{n_2}.
Вся суть элементарно в том, что если на зубчатое колесо передаётся момент сил M_0 от груза m, то в точке соприкосновения между колесом и шестернёй сила давления определяется через M_0=FR_2 (а по третьему закону Ньютона эти силы давления одинаково действуют как на шестерню, так и на зубчатое колесо!). Получается, с другой стороны, передаваемый шестерне крутящий момент равен M=FR_1, а из отношения \displaystyle\frac{R_1}{R_2}=\frac{n_1}{n_2} получаем формулу выше. Далее применяем вот это:
вот на моём первом скрине я нарисовал случай для первой задачи: барабан насажен на вал, поэтому весь момент от вала передаётся барабану и последний, в свою очередь, поднимает груз.
во втором случае крутящий момент M передаётся сначала от вала к шестерне (у которой радиус R_1), а эта шестерня вращается равномерно потому, что её вращению противодействует зубчатое колесо. В точке стыка сила реакции равна F, эта же сила образует вращающий момент M_0, который по понятным причинам равен mgr. остальное объяснено мною выше)
потому что размеры каждого зубчика с обеих шестерен одинаковы (можно посмотреть различные иллюстрации в вики), поэтому если ширина каждого зубчика равна d, то их число определяется соотношением nd=2\pi R, отсюда видна прямая пропорциональность между радиусом и количеством.
