Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиуса a и массы m относительно оси совпадающей с его диаметром.
Разделил окружность на 4 дуги с равными моментами инерции.(их длины равны) Момент инерции каждой дуги-сумма моментов инерции каждой точки этой дуги.
r-расстояние от некоторой точки до оси ОО`. Самая отдаленная от этой оси точка окружности лежит на расстоянии R.Получил интеграл в пределах от нуля до R.
Выразил dm и r.Затем рассматривал угол фи как малый угол. Получил второй интеграл-в пределах от 0 до 90 градусов с переменном интегрирования фи.
Если центр окружности обозначим С-то момент инерции дуги с углом АСB=90 градусов равна последнему множителю в интеграле (3) И дальше нашел момент инерции окружности умножив на 4 полученный интеграл.
Но как можно было иначе записать интеграл ведь максимальное значение для r это радиус окружности
И заметил что через первый интеграл можно было прийти к тому же ответу
Ты неправильно записал массу части дуги dm. В нашем случае \displaystyle dm = \rho dl = \frac{m}{2\pi a} a d\phi. Ты же использовал для длины дуги dr, которое является лишь проекцией длины на перпендикуляр оси. Если ты уберешь косинус из интеграла, то выйдет правильный ответ.
*Эту задачу также можно решить другим способом без интегрирования.
Другой метод
Если рассмотреть момент инерции кольца относительно центра то можно получить, что
\Theta= \int r^2 dm = \int (x^2+y^2+z^2)dm = mR^2
(все точки кольца равноудалены от центра)
Тогда если рассмотреть момент инерции кольца относительно каждой из осей (две оси находятся в плоскости кольца и одна является осью кольца), то получим
I_x= \int r_x^2 dm = \int (y^2+z^2)dm
I_y= \int r_y^2 dm = \int (x^2+z^2)dm =I_y
(I_x=I_y в силу симметрии)
I_z= \int r_z^2 dm = \int (x^2+y^2)dm = mR^2
(так как все точки кольца равноудалены от оси кольца)
Суммируя все эти моменты, получим:
Это же расстояние от самой оси х, вспомните как нужно находить момент силы \vec \tau=\vec F\times \vec r или момент импульса \vec L=\vec r\times \vec p
