В этой теме обсуждаем задачи APhO олимпиады 2017 года
Это обсуждение публикации https://olympiads.bc-pf.org/physics/s/apho/2017
Это обсуждение публикации https://olympiads.bc-pf.org/physics/s/apho/2017
Откуда в части E4 первой задачи взяли эту формулу?
Брали ли они какой-то эквивалент потенциала для жидкости?
Если рассмотреть вихревую нить, вращающуюся против часовой стрелки, изменение импульса за счет ее движения будет
\frac{d\vec p}{dt} = 2\pi\kappa\rho d (\vec v \times \hat z)
А для вихревой нити, вращающейся по часовой стрелке
\frac{d\vec p}{dt} = -2\pi\kappa\rho d (\vec v \times \hat z)
Будем обозначать теперь вращение против часовой стрелки через \kappa, а по часовой -\kappa.
Из метода изображений выходит, что есть четыре вихревой нити. Если реальную нить обозначить как (\kappa, v_x, v_y), остальные три будут
(-\kappa, -v_x, v_y)\\
(-\kappa, v_x, -v_y)\\
(\kappa, v_x, -v_y)\\
Если записать сумму изменений импульса, выйдет
\frac{d\vec p_{tot}}{dt} = 0
Следовательно, так как d\vec p_{tot}/dt = -\nabla U_{tot}, U_{tot} = const. Что я делаю не так?
P.S. Я уже решил этот пункт через другой способ, но хотелось бы понять их решение.
Ранее в условии и решении были выведены формулы для энергий vortex loops в форме окружности и прямоугольника, и в обоих случаях они пропорциональны логарифму характерного расстояния, разделенного на a. Думаю, можно доказать, что энергия взаимодействия двух loops принимает такую форму, а можно просто взять по аналогии, что они и сделали, как я понимаю. Дальше просто считаем общую энергию как сумму энергий взаимодействий с каждым из вихрей с учетом того, как их направления вращений расположены друг к другу.
Звучит логично.
Кажется я понял где у меня ошибка в решении сверху.
Здесь надо было записать изменение импульса только за счет движения реальной нити, потому что d\vec p_{real}/dt = -\nabla U_{tot}. Отсюда
U_{tot} \propto \int \left(-\frac{dx}{x} - \frac{dy}{y} + \frac{ydy}{x^2+y^2} + \frac{xdx}{x^2+y^2}\right)
1 лайк