x^y = y^x
Знаю как решать через натуральные логарифмы и все такое, но почему это вообще нужно? Почему нельзя просто продифференцировать и получить следующее:
d(x^y) = d(y^x)
y x^(y-1) dy = x y^(x-1) dx
dy/dx = xy^(x-1) / [yx^(y-1)]
А почему (a^x)'=\ln a \ a^x, а не x a^{(x-1)}? это во-первых.
Во-вторых, x меняется при изменении y и наоборот
Можно конечно, но если у тебя функция от двух переменных, то и дифференциал “двухмерный”
d(x^y)=\left( \frac{\partial x^y}{\partial x} \right) dx+\left( \frac{\partial x^y}{\partial y} \right)dy =
yx^{y-1}dx+(\ln x)x^y dy
Аналогично:
d(y^x)=\left( \frac{\partial y^x}{\partial x} \right) dx+\left( \frac{\partial y^x}{\partial y} \right)dy =
(\ln y)y^x dx + xy^{x-1}dy
Следовательно у тебя должны быть равны дифференциалы, т.е. целых два равенства рождается
\begin{gather}
yx^{y-1}=(\ln y)y^x \\
(\ln x)x^y=xy^{x-1}
\end{gather}
6 лайков
Где я могу почитать/посмотреть вывод этого дифференциала?
Именно его? Или в принципе дифференциала функции двух переменных?
Да любой учебник по математическому анализу, надо только выбрать себе по вкусу. И надо геометрический смысл дифференциала не забыть, я поэтому и сказал “двухмерный” т.к. он плоскость задает.