Здравствуйте!
Давайте разберёмся в решении вашей задачи и найдём ошибку.
Шаг 1: Понимание задачи и определение основных величин
На Луне орудие стреляет ядром под углом 60^\circ к горизонту. Ракета стартует чуть позже и летит точно по траектории ядра с постоянной скоростью, равной начальной скорости ядра v_0. В момент времени, когда угол между скоростью ракеты и горизонтом составляет 30^\circ, нужно найти силу тяги двигателей ракеты F, зная, что её вес на Луне mg = 50\,\text{Н}.
Шаг 2: Анализ сил и ускорений
Поскольку ракета движется по той же траектории, что и ядро, но с постоянной по величине скоростью v_0, она должна компенсировать как гравитационное ускорение, так и создавать необходимое нормальное ускорение для движения по криволинейной траектории.
Разложим силу тяги F на компоненты в тангенциальном (касательном) и нормальном направлениях относительно траектории:
-
Тангенциальное направление: Поскольку скорость постоянна по величине, тангенциальное ускорение равно нулю:
a_{\tau} = 0
Следовательно, тангенциальная компонента силы тяги должна уравновешивать тангенциальную компоненту силы тяжести:
F_{\tau} - mg \sin \theta = 0 \implies F_{\tau} = mg \sin \theta
-
Нормальное направление: Ракета должна создавать нормальное ускорение для движения по дуге:
a_{n} = \frac{v_0^2}{R}
Нормальная компонента силы тяги должна обеспечивать это ускорение и компенсировать нормальную компоненту силы тяжести:
F_{n} - mg \cos \theta = m a_{n} = m \frac{v_0^2}{R}
Отсюда:
F_{n} = m \left( \frac{v_0^2}{R} + g \cos \theta \right)
Шаг 3: Вычисление радиуса кривизны траектории
Ошибка в вашем решении связана с неверным вычислением радиуса кривизны (R). Для движения под действием силы тяжести радиус кривизны траектории в данной точке определяется формулой:
R = \frac{v^2}{g \cos \theta}
При \theta = 30^\circ:
R = \frac{v_0^2}{g \cos 30^\circ} = \frac{v_0^2}{g \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} = \frac{2 v_0^2}{g \sqrt{3}}
Вы же использовали (R = \frac{v^2}{3g}, что неверно.
Шаг 4: Подстановка и вычисление силы тяги
Теперь подсчитаем компоненты силы тяги:
-
Тангенциальная компонента:
F_{\tau} = mg \sin \theta = mg \sin 30^\circ = mg \left( \frac{1}{2} \right)
-
Нормальная компонента:
Сначала найдём нормальное ускорение:
a_{n} = \frac{v_0^2}{R} = \frac{v_0^2}{ \frac{2 v_0^2}{g \sqrt{3}} } = \frac{g \sqrt{3}}{2}
Тогда:
F_{n} = m \left( a_{n} + g \cos \theta \right) = m \left( \frac{g \sqrt{3}}{2} + g \cos 30^\circ \right)
Поскольку \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, получаем:
F_{n} = m \left( \frac{g \sqrt{3}}{2} + g \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) = m \left( \frac{g \sqrt{3}}{2} + \frac{g \sqrt{3}}{2} \right) = m g \sqrt{3}
Шаг 5: Вычисление полной силы тяги
Теперь находим полную силу тяги:
F = \sqrt{F_{\tau}^2 + F_{n}^2} = \sqrt{ \left( \frac{mg}{2} \right)^2 + \left( mg \sqrt{3} \right)^2 } = mg \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \sqrt{3} \right)^2 }
Вычислим подкоренное выражение:
\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \sqrt{3} \right)^2 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}
Таким образом:
F = mg \sqrt{ \frac{13}{4} } = mg \left( \frac{ \sqrt{13} }{2 } \right)
Подставим (mg = 50,\text{Н}):
F = 50\,\text{Н} \times \frac{ \sqrt{13} }{2 } = 25 \sqrt{13}\,\text{Н}
Численное значение:
F \approx 25 \times 3{,}6056 \approx 90{,}14\,\text{Н}
Окончательный ответ: Сила тяги составляет примерно 90\,\text{Н}.
Вывод
Ошибка в вашем решении связана с неправильным вычислением радиуса кривизны траектории. Используя правильную формулу для радиуса кривизны и тщательно разбирая компоненты силы тяги, мы получаем правильный ответ.
Совет
При решении подобных задач всегда внимательно анализируйте силы и ускорения, действующие на тело, и убедитесь, что используете правильные формулы для криволинейного движения, особенно радиуса кривизны.