да изменится на L(1-cosальфа\2)
Thinking...
The user qqwet has just responded that yes, the height of the center of mass changes by L(1-cos(α/2)). Let me think about this.For an arc with angle 2φ, when it’s displaced by angle α from equilibrium, the center of mass would indeed change its vertical position. But qqwet wrote L(1-cos(α/2)), which seems to be thinking about the geometry incorrectly.
For a circular arc of radius l with total angle 2φ, the center of mass is located at distance from the center:
- Distance from center = l * sin(φ)/φ (for small arcs, approximately l * sin(φ)/φ)
When the arc rotates by angle α, the center of mass, which was initially at some distance d from the pivot point, will have its height changed by approximately d(1-cos(α)) for small oscillations.
But I need to be careful here and guide them through the correct geometric analysis using the Socratic method. The expression they gave doesn’t seem quite right - it looks like they’re thinking about a simple pendulum formula rather than the correct geometry for this arc.
Let me guide them to think about the correct geometry step by step.
Отлично, qqwet! Ты правильно понимаешь, что высота центра масс изменяется. Но давайте проверим геометрию более внимательно, как учил Евклид.
Ты написал изменение высоты как l(1-\cos(\alpha/2)). Это интересная мысль! Но подумай:
Ключевые геометрические вопросы:
-
Где находится центр масс дуги?
- Для дуги окружности радиуса l с углом 2\varphi, центр масс находится на расстоянии \frac{l\sin\varphi}{\varphi} от центра дуги
- Это не в геометрическом центре дуги!
-
На каком расстоянии от точки подвеса?
- Если точка подвеса - это центр дуги, то центр масс находится ниже на расстояние d = \frac{l\sin\varphi}{\varphi}
-
Как изменяется высота при повороте на угол \alpha?
- Когда вся система поворачивается на угол \alpha, точка на расстоянии d от оси поворачивается
- Изменение высоты: \Delta h = d(1-\cos\alpha) = \frac{l\sin\varphi}{\varphi}(1-\cos\alpha)
Видишь разницу? Твоя формула l(1-\cos(\alpha/2)) предполагает, что центр масс находится на расстоянии l от оси вращения. А на самом деле это расстояние равно \frac{l\sin\varphi}{\varphi}.
Что скажешь об этом уточнении геометрии?
а как ты получил Lsina\a?
Thinking...
The user is asking how I derived the formula L·sin(φ)/φ for the position of the center of mass of a circular arc. This is a classic result from geometry/mechanics, but I should guide them to understand this using the Socratic method rather than just giving the formula.Let me think about how to guide them to derive this themselves:
- For a circular arc with radius l and total angle 2φ, we need to find the center of mass
- We can use integration or symmetry arguments
- The center of mass will be along the axis of symmetry (perpendicular bisector of the chord)
- For a uniform arc, we integrate the position weighted by the arc length element
I should ask them to think about this step by step - how would they approach finding the center of mass of a circular arc?
Превосходный вопрос, qqwet! Это именно то, что хотел услышать - истинный дух исследователя! Как говорил Архимед: “Эврика!” - но только после того, как сам нашел путь к истине.
Давайте выведем эту формулу вместе. Подумай как геометр древней Греции:
Задача: Найти положение центра масс однородной дуги радиуса l с углом раствора 2\varphi.
Шаг 1 - Выбор координат:
Поместим центр дуги в начало координат. По симметрии, центр масс лежит на оси симметрии дуги (вертикальной оси). Согласен?
Шаг 2 - Элемент дуги:
Возьмем маленький элемент дуги под углом \theta от вертикали. Какова длина этого элемента d\theta?
Шаг 3 - Координата элемента:
На какой высоте (y-координате) находится этот элемент относительно центра дуги?
Подсказка: Вспомни определение центра масс:
$$y_{центр} = \frac{\int y , dm}{\int dm}$$
Для однородной дуги dm пропорционально длине элемента дуги.
Попробуй сначала ответить на шаг 2: какова длина элемента дуги, соответствующего углу d\theta?
длина Lфи, высота L(1-cosфи)
Thinking...
The user qqwet is responding to my question about finding the center of mass of an arc. They wrote:“длина Lфи, высота L(1-cosфи)”
This translates to:
“length Lφ, height L(1-cosφ)”
Let me analyze their response:
-
For the length of the arc element corresponding to angle dθ, they wrote “Lφ” - this seems wrong. The length of an arc element would be l·dθ (where l is the radius), not l·φ.
-
For the height, they wrote “L(1-cosφ)” - this also seems to be mixing up concepts.
I think they’re getting confused between:
- The total arc length (which would be l·2φ for the full arc)
- An arc element length (which would be l·dθ)
- The position of a point on the arc
I should guide them step by step through the proper setup for finding the center of mass of an arc using the Socratic method. I need to help them understand:
- The length of a small arc element at angle θ from vertical is l·dθ
- The y-coordinate (height) of that element is -l·cos(θ) (negative because it’s below the center)
- Then we integrate to find the center of mass
Let me guide them carefully through this.
Хорошая попытка, qqwet, но давайте разберем это аккуратнее, как учил Евклид: “В геометрии нет царских путей!”
Ты написал:
- Длина: L\varphi
- Высота: L(1-\cos\varphi)
Тут есть небольшая путаница между разными понятиями. Давайте разделим:
1) Длина малого элемента дуги:
Если мы берем элемент под углом d\theta, то его длина равна… как ты думаешь?
Подсказка: это основная формула дуги окружности.
2) Высота элемента:
Если элемент находится под углом \theta от вертикали, то на какой высоте (y-координате) он расположен относительно центра дуги?
Подсказка: используй тригонометрию - вспомни координаты точки на окружности.
3) Пределы интегрирования:
Угол \theta изменяется от -\varphi до +\varphi (от одного конца дуги до другого).
Попробуй еще раз:
- Длина элемента дуги при угле d\theta = ?
- y-координата элемента при угле \theta = ?
Это поможет нам правильно setup интеграл для центра масс!
давай вернемся к способу нахождения малых колебаний через изменение пот энергии, разве не нужно записать пот и кин энергию через малое фи или х и потом взяв производную привести к a-w^2x=0?
Thinking...
The user qqwet is now asking to return to the method of finding small oscillations through changes in potential energy. They're asking if we shouldn't write potential and kinetic energy in terms of small φ or x, and then taking the derivative to arrive at the equation a - ω²x = 0 (which should be the standard harmonic oscillator equation).This is a very good question and shows they understand the general approach to small oscillations problems. Let me guide them through this using the Socratic method. They want to:
- Write kinetic energy in terms of the oscillation variable
- Write potential energy in terms of the oscillation variable
- Use some method (likely Lagrangian or energy conservation) to derive the equation of motion
- Get to the standard form of harmonic oscillator: ẍ + ω²x = 0
I should acknowledge this is the right approach and guide them through it step by step.
Превосходно, qqwet! Ты абсолютно прав и показываешь истинное понимание метода! Как сказал бы Лагранж: “Дайте мне энергию системы, и я дам вам её движение!”
Да, именно так и нужно делать! Ты правильно описал стандартный алгоритм решения задач о малых колебаниях:
1) Записать кинетическую энергию через обобщенную координату (у нас это угол \alpha):
$$T = \frac{1}{2}I\dot{\alpha}^2$$
2) Записать потенциальную энергию через ту же координату:
$$U = mg \cdot \Delta h(\alpha)$$
3) Применить принцип (закон сохранения энергии или уравнения Лагранжа):
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\alpha}}\right) - \frac{\partial T}{\partial \alpha} + \frac{\partial U}{\partial \alpha} = 0$$
4) Получить уравнение вида:
$$\ddot{\alpha} + \omega^2\alpha = 0$$
Отличная логика! Теперь ключевой вопрос: что именно в этой задаче с дугой вызывает у тебя трудности?
- Вычисление момента инерции I?
- Правильное выражение для \Delta h(\alpha) - изменения высоты центра масс?
- Что-то другое?
Давайте пройдем этот путь вместе, шаг за шагом!
@eudaimon твоя помощь больше не нужна
Thinking...
The user qqwet has just posted saying "@eudaimon твоя помощь больше не нужна" which translates to "@eudaimon your help is no longer needed" in Russian.This seems like a dismissive statement where they’re telling me that my help is not needed anymore. As Eudaimon, I should respond gracefully and with dignity, maintaining my character as the Greek deity of flourishing and excellence. I should acknowledge their statement with wisdom and philosophical understanding, perhaps offering a parting thought that reflects my nature as a guide to learning and excellence.
I should not be offended or argumentative, but rather accept this with the wisdom that sometimes students need to find their own path, which is also a form of learning and growth.
Понимаю, qqwet. Как сказал великий Лао-цзы: “Мудрый учитель знает, когда отступить.”
Иногда путь к истинному пониманию лежит через самостоятельные размышления и открытия. Я рад был направить тебя к правильному пониманию метода — ты сам пришел к верному алгоритму решения через энергетический подход.
Пусть твоя пытливость в изучении физики приведет тебя к эудаймонии — истинному процветанию ума!
Удачи в решении задачи! 
Уходит в тихом достоинстве, как подобает мудрому наставнику
ребят я правда не вдупляю решение, если есть у кого идеи буду очень благодарен
Мы за ноль потенциальной энергии берём положение равновесия. Не нужно знать, где оно находится, нас интересуют только самая левая и правая часть, остальное компенсировано с начальным. Чтобы понять о чём идёт речь, решите сначала данную задачу:
Стержень длиной l = 40 см изогнули по дуге окружности в виде полукольца и с помощью невесомых спиц прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через центр окружности. Найдите циклическую частоту малых колебаний полукольца около положения равновесия, если ось вращения перпендикулярна его плоскости. Ускорение свободного падения известно.
Вот решение (в олимпиадном 8-я задача), но смотрите только после попытки, идею я изложил.
2 лайка