Межпланетная баллистика

Две планеты массы M и радиуса R покоятся друг относительно друга, их центры находятся на расстоянии 4R друг от друга. Вы хотите запустить снаряд с поверхности одной планеты на другую. Какова минимальная начальная скорость, при которой это возможно?
—————————————————————————

Главное что я не могу здесь найти это траекторию. Должна ли быть это парабола или эллипс? Или может даже лемниската Бернулли?

В общем, непонятно…
—————————————————————————

Вот часть моих наработок

Моя идея заключется в том что в точке равновесия скорость по оси х, скорость чуть больше нуля.

Всё же я считаю что лучшая траектория это просто прямая линия между ближайшими точками планет.

1 симпатия

Попробуй записать закон сохранения энергии для снаряда, запущенного из произвольной точки планеты. Полная энергия корабля не меняется, тогда какая должна быть координата запуска?

А вот такая:
E=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{\sqrt{R^2+16R^2-8R^2\cos\phi}}

Чтобы минимизировать кинетическую энергию, нужно запускать снаряд из точки с минимальной потенциальной энергией. Как видим, это достигается при \phi=\pi, то есть с противоположной от второй планеты стороны. Отсюда и легко вывести минимальную скорость.

3 симпатии

Спасибо за подсказку!

Всё же я не совсем понимаю как вывести минимальную скорость.

2 симпатии

Ты писал, что в процессе движения скорость снаряда должна быть сонаправлена с AB. Тогда, из твоих записей, энергия в этой точке должна быть

E=-2\frac{GMm}{\sqrt{4R^2+y^2}}

Так как полная энергия отрицательна, для её минимума нужно принять y=0, тогда:

E=-2\frac{GMm}{\sqrt{4R^2+0^2}}=-\frac{GMm}{R}=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{5R} \newline \frac{mv^2}{2}=\frac{GMm}{5R} \newline v=\sqrt{\frac{2GM}{5R}}
3 симпатии

Вот только можем ли мы запустить снаряд так что бы в этих координатах кинетическая энергия была равна нулю?
Конечно же если не запустить её сквозь планету.

1 симпатия

кто знает)) лень разбираться))

1 симпатия

Хотя да, эта скорость меньше, чем первая космическая. Если расписать закон Ньютона в самом начале траектории, то получается “первая космическая” этой точки:

\frac{mv_I^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}+\frac{GMm}{25R^2} \newline v_I=\sqrt{\frac{26GM}{25R}}> \sqrt{\frac{2GM}{5R}}
1 симпатия

Если так подумать, то

v_I=\sqrt{\frac{26GM}{25R}}

должно являться достаточным условием того, что снаряд не только преодолеет притяжение первой планеты, не ударившись о поверхность, но и без проблем долетит до второй; величина суммарной силы гравитационного притяжения к центру первой планеты снижается заметно быстрее, чем изменяется скорость снаряда.

1 симпатия

Если написать те же уравнения например в ближайжих к друг другу точках. То:

v_1= \sqrt {\frac{8GM}{9R}}
v_{escape}=\sqrt {\frac{2GM}{3R}}
1 симпатия

Вот тут есть неточность. Гравитационная потенциальная энергия изначально имеет отрицательное значение, поэтому нам нужно увеличивать её модуль, а не уменьшать. Это достигается при \phi = 0, то есть в точке, наиболее близкой к другой планете. Дальнейшее решение тривиально, так как нам нужно, чтобы снаряд пролетел лишь полпути, а дальше всё сделает гравитация.

Дальнейшее решение

Энергия снаряда на полпути к планете:

E = -\frac {GMm}{R}

Что равняется начальной энергии:

E=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{\sqrt{R^2+16R^2-8R^2}} = \frac{mv^2}{2}-\frac{4GMm}{3R}

Приравнивая правые части формул, находим минимальную скорость:

v = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}
6 симпатий

Если кому-то интересно, то вот так выглядит траектория при минимальной скорости с обратной стороны планеты (по крайней мере, самое близкое, что я смог получить)
image
А траекторию при \phi = 0, думаю каждый сможет нарисовать сам

6 симпатий

спасибо, что поправил)

© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)