Задача на гравитацию

Физика Механика
1

С орбитальной станции, движущейся со скоростью u по круговой
орбите вокруг планеты, запускают два зонда. Начальная скорость зондов относительно планеты равна v (√2 u > v > u). Один зонд движется по направлению
радиуса планеты; начальная скорость другого зонда перпендикулярна ее радиусу. Найдите отношение максимально возможных расстояний от зондов до центра
планеты.

не могу понять как будет дела со скоростью по радиусу, той которая касательна увеличит эллипс, но если по радиусу то колебаться будет?

1 лайк
2

Ну энергия спутника с радиальной скоростью: (скорость записана в полярных координатах с уч)

E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+(\dot{\theta}r)^2)-\frac{\alpha }{r}=\frac{1}{2}m\dot{r}^2-\frac{\alpha }{r}=const

Возьмем отсюда производную:

\dot {E}=0=m\dot r \ddot r+\frac{\alpha \dot r}{r^2} \Rightarrow \ddot r+\frac{\alpha}{mr^2}=0

Получается чтобы получались гармонические колебания, спутник должен отклониться от положения равновесия на малую величину \delta:

\ddot \delta+ \frac {\alpha}{m(r_0-\delta)^2}\approx\ddot \delta+\frac{\alpha}{mr_0^2}(1+\frac{2\delta}{r_0})=0

Можно конечно решить диффуру сверху напрямую и вывести зависимость r(t), но я не думаю что это как то может помочь решить данную задачу. Тут ты должен использовать сохранение энергии

4 лайка
3

Теперь к делу: ты можешь посчитать энергию в обоих случаях, также момент импульса в случае где есть только тангенциальная составляющая скорости

2 лайка
4

мой вопрос скорее был в том как установиться равновесие

то есть вот телу дают дополнительную перпендикулярную скорость
2) далее ее замедляет сила притяжения до того момента чтоб обратить в ноль
3) потом тело будет ведь притягиваться обратно к тому месту где его Fцентробежная была бы равна с силой притяжения ( а ведь это момент начала) и из за этого колебания

у него ведь всегда скорость u по одной из осей значит сила центробежная постоянна

так почему у него тогда у него ведь будет такой эллипс который каждый раз ссужается и вытягивается из за этих колебаний траектория движения разве нет?

не мог нормально объяснить этот вопрос, надеюсь сейчас нормально спросил

2 лайка
5

можно пожалуйста решение чтоб я мог более конкретно задать вопросы

2 лайка
6

В общем думаю очевидно то, как найти максимальное расстояние от центра планеты того зонда, у которого есть тангенциальная скорость. Тебе просто нужно воспользоваться формулой для энергии спутника в эллипсовидной орбите:

E=-\frac{GmM}{2a},\quad a=\frac {r_1+r_2}{2},

причем r_1=r_0 это радиус начальной орбиты (в которой двигалась орбитальная станция)
Если ты не знаешь как выводится эта формула, то попробуй вывести ее сам, используя уравнения закона сохранения момента импульса и энергии:

\frac{mv_1^2}{2}-\frac{GmM}{r_1}=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{GmM}{r_2},\quad mv_1r_1=mv_2r_2

Затем ты должен найти максимальное расстояние от центра планеты второго спутника, которая имеет радиальную скорость. Тут можно обойтись просто законом сохранения энергии:

\frac{mv^2}{2}-\frac{GmM}{r_0}=-\frac{GmM}{r_\text{max}}

Если посмотреть на формулу (выше) для энергии спутника имеющего радиальную скорость:

E=\frac{m\dot r^2}{2}-\frac{\alpha}{r}=\text{const}

Понятно что при r=r_\text{max}, \dot r=0
Ну надеюсь теперь все должно быть понятно. Тебе просто осталось решить уравнения выше относительно r_\text{max} и r_2 , а потом найти их отношение (выразить их через начальные скорости).
И кстати, r_0 выражается так:

\frac{2mv_0^2}{r_0}=\frac{2GmM}{r_0^2}\quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{\frac{GM}{r_0}}.
7 лайков
7

Извините, но вы не можете подсказать как именно вывели эту формулу и использовали?

8

Общее выражение для полной энергии спутника:

E=E_K+E_P=\frac{mv^2}{2}+V(r)

V(r) это функция потенциальной энергии, в гравитационном поле некой планеты:

V(r)=-\frac{GmM}{r}=-\frac{\alpha}{r}\Rightarrow E=\frac{mv^2}{2}-\frac{\alpha}{r}

Теперь нужно найти выражение для скорости в полярных координатах:
image

x=r\cos \theta\Rightarrow \dot x=-\dot\theta r\sin\theta+\dot r\cos\theta \quad y=r\sin\theta\Rightarrow\dot y=\dot \theta r\cos\theta+\dot r\sin\theta
v^2=\dot x^2+\dot y^2=(-\dot\theta r\sin\theta+\dot r\cos\theta)^2+(\dot \theta r\cos\theta+\dot r\sin\theta)^2=\dot r^2+(\dot \theta r)^2

В итоге:

E=\frac{m(\dot r^2+(\dot \theta r)^2)}{2}-\frac{\alpha}{r}

Если спутник движется только радиально, то \theta=const\Rightarrow \dot \theta =0 поэтому остается только:

E=\frac{m\dot r^2}{2}-\frac{\alpha}{r}

Также добавлю то, что формулу для энергии часто пишут через момент импульса L=mr^2\dot \theta:

E=\frac{m\dot r^2}{2}+\left ( \frac{L^2}{2mr^2}-\frac{\alpha}{r}\right)

Здесь при радиальном движении L=0, так как \vec L=\vec r\times \vec p=m(\vec r\times \vec v), а векторы \vec r, \vec v параллельны

4 лайка
9

Почему в этом уравнение скорость не учитывается? Тело же будет двигаться по определённой эллиптической орбите? Разве нет или тело будет на столько далеко что V будет стремиться к нулю ?

Ещё один вопрос

В этом уравнение V1 будет равно V из условий задачи ?

10

Да, верно

2 лайка