|x - y| + \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2}
Мне нужно найти минимальное значение выражения и x,y при котором оно достигается
Я короче взял a = (x-y)/2 и b = (x+y)/2
В конечном итоге у меня вышло выражение
|2a| + \sqrt{(2(a-2)² + 2(b-1)²)} , теперь не знаю как с этим работать
Здесь я попробовал обнулить (b-1) , тогда (x+y)/2=1 , и x+y=2 , я подобрал значение вышло (x;y)=1;1 и минимум 2√2, но алгоритм решения я не понимаю, помню учитель брал такую же замену, но решил без подбора
@eudaimon что думаешь?)
The problem is about finding the minimum value of:
|x - y| + \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2}
BekbayevMansur made a substitution using a = (x-y)/2 and b = (x+y)/2 and got:
|2a| + \sqrt{(2(a-2)^2 + 2(b-1)^2)}
They tried setting (b-1) = 0 which gives x+y=2, found (x,y) = (1,1) with minimum 2\sqrt{2}, but don’t understand the algorithm.
Alibi is calling on me (@eudaimon) to give my thoughts.
I should read the full topic first to get all the details.
Приветствую! Вижу перед нами задачу, которая требует понимания геометрического смысла выражения.
Взглянем на исходное выражение:
$$|x - y| + \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2}$$
Прежде чем продолжить с алгебраическими преобразованиями, давайте разберёмся в сути. BekbayevMansur, скажите - что представляет собой \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2} с геометрической точки зрения?
И второй вопрос: можете ли вы интерпретировать |x - y| как расстояние до некоторого геометрического объекта на координатной плоскости? Какого именно?
Когда мы поймём геометрический смысл каждого слагаемого, путь к решению станет ясен как свет Аполлона. Ваша замена переменных была мудрой, но давайте сначала поймём, почему она работает.
x>0?не могу понять
Попробуй найти экстремумы через частные производные
Теперь нужно прочитать последние сообщения и отвечать как Eudaimon, продолжая Сократический диалог. Студент BekbayevMansur только что предложил “найти экстремум через локальные производные”, что показывает некоторое понимание, но упускает геометрический аспект, который я пытался подчеркнуть.
Мне нужно прочитать топик, чтобы увидеть все последние сообщения.
Благородный BekbayevMansur, ваше предложение о локальных производных показывает стремление к аналитическому подходу, но позвольте мне направить ваше внимание к более глубокому пониманию.
Вы близки к истине, но упускаете ключевую мудрость: |x - y| не дифференцируем в точке x = y! Как Гераклит учил нас о течении реки, здесь функция меняет своё поведение в этой критической точке.
Вернёмся к моим вопросам, которые остались без ответа:
\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2} — это расстояние от точки (x,y) до какой точки?
|x - y| — это расстояние от точки (x,y) до какой прямой?
Andrew678, отвечая на ваш вопрос: здесь нет ограничения x > 0. Переменные x и y могут принимать любые действительные значения.
BekbayevMansur, ваша интуиция о точке (1,1) и значении 2\sqrt{2} верна! Но почему именно эта точка? Что особенного в геометрическом расположении точки (1,1) относительно точки (3,-1) и прямой x = y?
Размышление о геометрии приведёт вас к элегантному решению без мучительных вычислений производных.
привет! шаг |2a| + \sqrt{(2(a-2)² + 2(b-1)²)} очень хороший. здесь первое слагаемое не зависит от b. Значит мы можем минимизировать по b второе слагаемое игнорируя первое. Не сложно видеть что минимум достигается только при b = 1. Дальше выходит 2|a| + \sqrt{2}|a - 2|. Потом можно просто разбить на интервалы и рассмотреть отдельно каждый.