Задача про перехватывание автобуса

В упражнениях учебника Мякишева и в сборнике Гельфгата(1001) встретилась одинаковая задача про автобус и человека, которому этот автобус нужно “перехватить”.

В задачнике она идёт под двумя звёздочками и решение в нём сложное и мне непонятное.

Похожую задачу видел и в 3800, поэтому очень хочу разобраться в её решении.

Задача:
hj4koMl7

Моё решение:

Рисую координатную плоскость. Шоссе проходит по оси Х, и по нему где-то едет автобус со скоростью 16м/с. Человек находится на расстоянии 60м от оси Х перпендикулярно ей. Расстояние от него до автобуса, по-сути, это гипотенуза, равная 400м

Если человек будет бежать перпендикулярно шоссе, то он добежит до него за 15 секунд, в то время как автобус проедет всего 240 метров и ему останется примерно 155м по теореме Пифагора(гипотенуза и катет нам известны).

Но что, если в похожей задаче будут другие числа и человек не успеет, если будет бежать перпендикулярно? И как рассмотреть другие случаи бега: под каким-то углом “к” автобусу и под каким-то углом “от” автобуса? Как найти “область” углов, под которыми может бежать человек, чтобы успеть?
Одним вопросом: как решать задачи, похожие на эту?

выдели немного времени на то, чтобы вникнуть получше

1 симпатия

Всё равно не понимаю:(

Внимательно и несколько раз прочитал и представил каждый шаг обоих решений, но остаётся очень много вопросов и понимаю, что самостоятельно к такому решению точно бы не смог прийти.

Возможно, мне стоит начать с задачника попроще? Что можете посоветовать?

Было бы круто, если бы ты их написал сюда, чтобы мы могли ответить на каждый вопрос в подробностях)

Ну главное понять решение, потому что чем больше решений ты понял, тем больше вероятность, что ты сгенерируешь правильное решение к незнакомой задаче, потому что уже есть фундамент.

Наруто учил не сдаваться! А ещё, решая и разбирая решения задач из 1001 задачи можно достичь очень хорошего прогресса. Это ведь задача с двумя звёздочками, она рассчитана быть сложной и занимать много времени. Но если прям совсем уж тяжко идёт, то можно немного порешать 3800 задач, или Балаш а потом переходить к 1001 (тема из 3800/Балаша → та же тема из 1001 и так по каждой теме)

3 симпатии

Да, чем больше чего-то читаешь/учишь/решаешь, тем больше паттернов запоминает мозг и тем эффективнее проходит обучение и подготовка.

Так точно, сенсей!

Да, задача с двумя звёздочками, и я бы на ней особо не зацикливался, но она у Мякишева стоит как обычное упражнение после параграфа! Поэтому думаю, что её можно решить легче и используя только то, что есть в теории у Мякишева.

Гельфгат использует теорему синусов(её я знаю) и оперирует таким понятием, как арксинус(его я пока не знаю). А во втором решении он переходит в систему отсчёта, связанную с автобусом(о системах отсчёта у Мякишева говорится очень мало, поэтому я не совсем могу представить, о чём идёт речь) и использует окружность(похожее было у Бутикова, но у Мякишева такого нет).

1 симпатия

Но как раз таки, на таких вот и стоит зациклиться и качественно понять решение, потому что они обычно трудные. А понимание и генерирование трудных решений приносит больше пользы

Сейчас узнаешь.
Ну вот у нас есть функция y = f(x) = \sin x, то есть мы можем найти синус, если знаем значение угла. А если нам хочется сделать наоборот? Для этого придумали арк-функции или же обратные тригонометрические функции. Записываются они так:

y = \sin ^{-1} x = \arcsin x

Парочка примеров

\arcsin \frac 12 = \frac \pi 6\\ \sin ^{-1} 1 = 0.5 \pi

Аркфункции также есть у тангенса, котангенса и косинуса.
Не забывай! Синус и косинус имеют значения в пределах \pm1, так что аргументы арксинуса и арккосинуса могут быть только в пределах \pm 1.

29 и 30 параграфов вроде хватает (со 129 страницы)
А ещё, системы отсчёта уже обсуждали

Ну просто вектор из одной точки может быть направлен по всякому. И таких всяких направлений ровно бесконечность. И если нарисовать их все получится круг
image
Нарисуем его для этой задачи. В системе отсчёта автобуса (то есть отняв скорость автобуса у всей системы). Но для векторов справедливо: \vec a + \vec b = \vec b + \vec a, сначала нарисуем - \vec v_1, а потом всевозможные v_2 (потому что так удобнее).
image
Начнём с направления строго влево. При угле \beta_1, сумма векторов впервые будет направлена вдоль AB.

image

При угле \beta _2, сумма векторов в последний раз будет направлениа вдоль AB. Поэтому скорость человека должна быть направлена где-то между ними[1]. Ну а дальше дело техники[2]


  1. Рассмотрение промежуточных случаев оставлено читателю в качестве самостоятельного задания ↩︎

  2. Объяснено в решении 1, решение 2 лишь способ прийти к выражению для угла ↩︎

5 симпатий

Арксинус это как бы обратная функция синуса
Допустим sin(45°)=0.707
sin в степени -1(0.707)=это и есть 45 градусов

Εὕρηκα!

Кажется, я нашёл очень лёгкое и понятное решение этой задачи. По крайней мере минимальный угол 37 удалось найти)

Сейчас нужно поехать по делам. Вернусь — обязательно дорешаю и скину сюда своё решение. Без всяких арксинусов и окружностей.

3 симпатии

Так. Для начала напишу задание в виде текста, потому что вдруг кто-то будет в поисковике искать решение.

Задачник “1001 задача по физике”, Гельфгат.

1.19**.
По прямому шоссе со скоростью v_1 = 16 м/с движется автобус. На расстоянии d = 60 м от шоссе и s = 400 м от автобуса находится человек. Человек может бежать со скоростью v_2 = 4 м/с. В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус, который к нему приближается? При какой наименьшей скорости человека v_2min это вообще возможно? В каком направлении следует при этом бежать?

Решение:

Для начала нарисуем шоссе в виде луча с началом в точке А — это начальное положение автобуса.
На некотором расстоянии снизу от шоссе отметим точку В — это начальное положение человека.
BC — расстояние(перпендикуляр) от человека до шоссе, равное d.
AB — расстояние от человека до автобуса, равное s.

Сначала рассмотрим вариант с наименьшим углом для бега. В этом случае человек и автобус прибудут в точку H_1 одновременно, т.е. t_1 = t_2
Так как скорость автобуса в 4 раза больше скорости человека, а время у них одинаковое, то автобус проедет в 4 раза больше. Отметим путь человека как x. Тогда путь автобуса — 4x.

Начинается самое интересное.

Найдём угол \angle CAB.

sin \angle CAB = \dfrac{d}{s} = \dfrac{60}{400} = 0,15
Значит \angle CAB = 9^{\circ}

Теперь используем теорему синусов и находим наш угол \angle ABH_1.

\dfrac{x}{sin \angle CAB} = \dfrac{4x}{sin \angle ABH_1}

\dfrac{x}{0,15} = \dfrac{4x}{sin \angle ABH_1}

sin \angle ABH_1 = 0,6

\angle ABH_1 = 37^{\circ} (т.к. наш угол острый)

Значит, минимальный угол, под которым человек может бежать к автобусу — 37^{\circ}.

Теперь по той же логике найдём максимальный угол.

В этом случае человек и автобус прибудут в точку H_2 снова одновременно и их время снова будет равно, а значит автобус снова проедет в 4 раза больше, чем человек. Пусть путь человека — y. Тогда путь автобуса — 4y.


Нам нужно найти угол \angle ABH_2.

Снова воспользуемся теоремой синусов:

\dfrac{y}{sin \angle CAB} = \dfrac{4y}{sin \angle ABH_2}

\dfrac{y}{0,15} = \dfrac{4y}{sin \angle ABH_2}

sin \angle ABH_2 = 0,6

\angle ABH_2 = 143^{\circ} (т.к. наш угол тупой)

Вот и всё.

Для того, чтобы “перехватить” автобус, угол бега человека должен быть в промежутке
37^{\circ} \leq \alpha \leq 143^{\circ}.

А вот чтобы найти минимальную скорость v_2min, нужно скорость человека умножить на \dfrac {d}{s}, т.е. 4 \times 0,6 = 2,4 м/с.

2 симпатии

Да вот же ты арксинус использовал чтобы найти значение угла. По сути, это и есть решение от авторов, просто в более длинном виде и без пропущенных звеньев в цепочке рассуждений[1]


  1. Которые оставлены в качестве самостоятельного задания читателю, либо упрощены через рассмотрение более общего случая ↩︎

1 симпатия

А, ну тогда получается, что я знаю, что такое арксинус :smile:

Просто задачи на нахождение угла по известной тригонометрической функции проходят в начале 9-го класса, а понятие арксинуса вводится только в середине 10-го (если брать 11-летнюю программу).

Может решения по-сути и одинаковые, но я всё ещё не до конца понимаю решение автора)

А вот к этому пришёл самостоятельно, за что очень горжусь.

Наруто правильно учил, что нельзя сдаваться :facepunch:

2 симпатии