то есть прошу объяснить как находить параметры орбит у гиперболического движения, так же не понимаю, как такое движение возможно в реальном случае, чтоб планета так телепортировалась с одной траектории на ее симметричную
1 лайк
Вообще чтобы найти каким уравнением описываются движение в конических сечениях нужно все с нуля начинать:
Сначала записать энергию:
\frac{1}{2}m\dot r^2+(\frac{L^2}{2mr^2}+V(r))=E=const
Надеюсь ты прочитал в той же книге и знаешь что член:
(\frac{L^2}{2mr^2}+V(r))=V'(r)
называется эффективным потенциалом
Очевидно что потенциальная энергия имеет вид:
V(r)=-\frac{GMm}{r}=-\frac{\alpha}{r}
Тогда:
\frac{1}{2}m\dot r^2+(\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{\alpha}{r})=E \rightarrow \dot{r}^2=\frac{2E}{m}+\frac{2\alpha}{mr}-\frac{L^2}{m^2r^2}
Дальше легче найти r как функцию \theta (поляр. координаты), поэтому используя:
L=mr^2\dot{\theta} \rightarrow L^2=m^2r^4\dot\theta^2
Можно прийти к такому: (разделив уравнения)
(\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\theta})^2=\frac{2mE}{L^2}+\frac{2m\alpha}{rL^2}-\frac{1}{r^2}
Дальше заменой переменных решается нужно решить эту диффуру (не совсем обзательно знать, но нужно просто получить конечный результат):
y=\frac{1}{r}\rightarrow (\frac{dy}{d\theta})^2=-y^2+\frac{2m\alpha}{L^2}y+\frac{2mE}{L^2}=-(y-\frac{m\alpha}{L^2})^2+\frac{2mE}{L^2}+(\frac{m\alpha}{L^2})^2
Еще одна замена:
z=y-\frac{m\alpha}{L^2}\rightarrow (\frac{dz}{d\theta})^2=-z^2+(\frac{m\alpha^2}{L^2})^2(1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2})=-z^2+B^2
B=\frac{m\alpha^2}{L^2}\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}
\int \frac{dz}{\sqrt{B^2-z^2}}=\int d\theta
В итоге:
z=B\cos(\theta-\theta_0)=\frac{1}{r}-\frac{m\alpha}{L^2}
Если \theta_0=0:
\frac{1}{r}-\frac{m\alpha}{L^2}=\frac{m\alpha^2}{L^2}\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}\cos\theta
Это можно записать в таком в виде:
r=\frac{L^2}{m\alpha(1+\varepsilon\cos\theta)}
Эксцентриситет определяется так:
\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}
Для гиперболической орбиты \varepsilon>1, чтобы найти его параметры воспользуемся функцией r от угла в полярных координатах:
Сделаем соответсутвующие замены:
k=\frac{L^2}{m\alpha}, \cos\theta=\frac{x}{r}\rightarrow k=r+\varepsilon x, r=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow(k-\varepsilon x)^2=r^2\rightarrow k^2-2k\varepsilon x+\epsilon^2x^2=x^2+y^2
x^2(\varepsilon^2-1)-2k\varepsilon x=y^2-k^2\rightarrow (x-\frac{k\varepsilon}{\varepsilon^2-1})^2=\frac{y^2-k^2}{\varepsilon^2-1}-\frac{k^2}{(\varepsilon^2-1)^2}\rightarrow \frac{(x-\frac{k\varepsilon}{\varepsilon^2-1})^2}{(\frac{k}{\varepsilon^2-1})^2}-\frac{y^2}{(\frac{k}{\sqrt{\varepsilon^2-1}})^2}=1
Используя уравнение гиперболы, находим параметры:
\frac{(x-c)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
Смещение центра:
c=\frac{k\varepsilon}{\varepsilon^2-1}
Прицельный параметр b и коэф. a:
b=\frac{k}{\sqrt{\varepsilon^2-1}}, a=\frac{k}{\varepsilon^2-1}
но это же не мгновенно происходит
13 лайков
этого не происходит) вторая ветвь гиперболы мнима, и просто нужна для расчётов
2 лайка