Автор обосновал это тем, что при минимальной скорости должна быть только одна возможная траектория достижения цели (т. е. один корень решения). Этот корень соответствует дискриминанту равному нулю и решению квадратного уравнения (14).
Определить эту минимальную скорость можно также из условия \displaystyle \frac{dv_0}{d\alpha} = 0 (так как скорость минимальна). Тогда взяв производную по углу из квадратного уравнения для тангенса получим выражение для тангенса \displaystyle \tg \alpha =\frac{ v_{\min}^2}{gl}. Подставив его в исходное квадратное уравнение можно найти скорость.
Далее здесь идут опечатки. Формулы вроде как должны быть такими:
\displaystyle v_{\min}^2 =g(h+\sqrt{h^2+l^2})
\displaystyle \tg \alpha = \frac{v_{min}^2}{gl} = \frac{h}{l}+\sqrt{\frac{h^2}{l^2}+1}
Формулу для тангенса автор нашел используя, что дискриминант равен нулю. То есть в уравнении (13) в учебнике выражение под корнем равно нулю и \displaystyle \tg \alpha =\frac{ v_{\min}^2}{gl}.
