Привет, всем, хотел бы поделиться интересной геометрической интерпретацией U-substitution, зачастую в учебниках он объясняется через chain-rule.
Допустим у нас есть фунция g(f(x))*f'(x) давайте возьмем неопределенный интеграл от данной функции и получим \int g(f(x))*f'(x) dx = G(f(x)) +C или иногда записывается как \int g(f)df=G(f(x))+C. [G это первообразная g]. Но у данного соотношения, есть более интересное геометрическое объяснение через понятия трансформаций.
Давай-те начнём сейчас, с другого взгляда на понятие функции. Мы можем на самом деле представить функцию, как преобразование вещественной прямой.
Как базовый пример возьмем функцию f(x) = 2x
Также это можно представить как будто мы взяли и растянули оригинальную прямую ровно в 2 раза, и наложили на обычную прямую. К сожалению, мне это трудно отобразить графически, но попробуйте вообразить.
Теперь давай-те расмотрим, более сложную функцию f(x) = x^2
Ох емае, сейчас уже идёт какое-то сложное нелинейной растяжение, да и ещё растёт так быстро, что даже непонятно поведение.
Так как мы занимаемся сaclulus’ом, всегда бывает полезно изучить поведение функций при очень маленьких масштабах. Давай-те расмотрим всю тоже функцию, но уже с шагом в \Delta x = 0.01, допустим в точке x = 1 [нам сейчас это будет очень удобно, так как 1 трансформируется в 1]
Ничего не напоминает? Вплоть до некоторый ошибки, трансформация f(x) = x^2 вокруг небольшого окрестности единички, напоминает нам f(x) = 2x или же растяжения данной окрестности в два раза! Ух-ты, то есть мы можем теперь описывать локально растяжения/сжатия функции вокруг какой-то точки. Но нам теперь нужно разобраться нумерически, а что же происходит. На самом деле здесь замешанны производные. Мы можем довольно просто показать, что растяжение/сжатие в точке x_0 будет примерно равняться f'(x_0).
Для этого вспомним, формулу линейной аппроксимации f(x_0 +\Delta x) \approx f'(x_0)\Delta x +f(x_0).
Как видим, всё сходится. [Небольшая ремарка, в дальнейшем помощи воображению, будет полезно трансформированную прямую воображать перецентрованной так, что f(x_0) лежала параллельно x_0].
Остался небольшой шаг, ввести фунцкию на трансформированной прямой и посчитать интеграл!
Давай-те посмотрим, что происходит с функциями при трансформации.
Можно заметить, что в небольшом участке возле 1, график будет растягиваться в два раза, и соответсвенно наше разбиение на \Delta x тоже растягивается в 2 раза. Поэтому, чтоб посчитать площадь трансформированного прямоугольника, надо взять g(f(x_{i}^{*}))) домножить не только на \Delta x, но и на степень расширения/сжатия, то есть на f'(x_i). Окончательно формула трансформированного прямоугольника выходит g(f(x_{i}^{*}))*f'(x_i)*\Delta x . А дальше по определению, берём интеграл Римана, то есть lim_{\Delta x \rightarrow0} \sum_{i=0}^{\infty} g(f(x_{i}^{*}))f'(x_i)\Delta x = \int_{f(a)}^{f(b)}g(f(x))f'(x)dx. Не забываем про границы интегрирования, так как они тоже трансформируются. На этом вроде-бы всё.
P.S. Похожая идея используется в multivariable calculus и тема называется Jacobian matrix, но я уже тут слаб.
P.P.S. Я открыт к критике, не бойтесь указать на ошибки и другие неточности.