Орбита спутника, разделенная на сектора

Плоскость орбиты спутника разбита на секторы с общей вершиной в центре планеты массы M и одинаковыми малыми углами раствора dϕ.
Найдите изменение скорости спутника при прохождении каждого сектора, если
его скорость в перицентре vп, а расстояние от спутника до центра планеты в
перицентре rп.

1 лайк

Второй закон Кеплера гласит, что скорость заметания секторной площади постоянна, т.е.

\frac{dS}{dt}=const

Нам известны расстояние спутника r_п в перицентре и его скорость v_п в этой точке. В перицентре за малый промежуток dt заметается очень малый сектор, который можно считать равнобедренным треугольником с длиной бедра r_п и основанием v_п dt. Значит в этой точке dS_п=\frac{1}{2}v_пdt \cdot r_п, либо

\frac{dS}{dt}=\frac{v_пr_п}{2}.

Теперь перейдём к вопросу об изменении скорости при каждом прохождении угла d\varphi. Если в данный момент расстояние между спутником и планетой равно r, то

dS=\frac{1}{2}r^2 d\varphi.

Второй закон Ньютона записывается в таком виде:

\frac{dv_r}{dt}=\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{v_п r_п}\frac{d\varphi}{dt},

причём индекс r означает изменение радиальной компоненты скорости в направлении к центру планеты. Отсюда получаем окончательный ответ:

dv=\frac{GM}{v_п r_п}d\varphi.
5 лайков