Разность скоростей зонда и станции при отклонении на одинаковый угол

С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и
скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении
дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из центра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости
отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α?

1 симпатия

Вспомним вывод формулы из Орбита спутника, разделенная на сектора. Так как удельный момент импульса в точке старта l=uR одинаков как для станции, так и для зонда, то изменения их скоростей \Delta v одинаковы, если замётанный угол равен \int d\varphi = \alpha для обоих спутников. Дальше легко записать закон сохранения момента импульса для зонда и получить ответ.

2 симпатии

ok Спасибо


Я не понял эту траекторию как она двигается

Это просто произвольная траектория, и для решения конкретно этой задачи форму траектории знать необязательно)

А вообще, это криволинейный отрезок, который является частью конического сечения (эллипс/парабола/гипербола, это зависит от параметров в задаче).

1 симпатия

НЕ понял эту подсказку

что то не получается

Общая скорость зонда складывается из векторной суммы скоростей \vec u + \vec V + \int d\vec v. Без дополнительно сообщенной скорости \vec u + \int d\vec v по сути было бы движением станции по кругу, причём d\vec v /dt=u^2/R. Хоть d\vec v и направлен в центр планеты, из-за движения корабля по некоторой траектории его суммарно создаваемый момент импульса, вообще говоря, не равен нулю. То есть, записывая закон сохранения момента импульса, нужно, во-первых, учитывать появляющееся плечо момента импульса r\sin \alpha для скорости \vec V и, во-вторых, учитывать, что компонента момента импульса для скорости \vec u + \int d\vec v равна ur (потому что \vec u + \int d\vec v будет всегда перпендикулярен радиусу-вектору \vec r). Итак, получаю

uR=ur-V\cdot r\sin \alpha,
r=\frac{R}{1-\frac{V}{u} \sin \alpha}.