С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и
скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении
дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из центра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости
отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α?
2 лайка
Вспомним вывод формулы из Орбита спутника, разделенная на сектора. Так как удельный момент импульса в точке старта l=uR одинаков как для станции, так и для зонда, то изменения их скоростей \Delta v одинаковы, если замётанный угол равен \int d\varphi = \alpha для обоих спутников. Дальше легко записать закон сохранения момента импульса для зонда и получить ответ.
4 лайка
ok Спасибо
Это просто произвольная траектория, и для решения конкретно этой задачи форму траектории знать необязательно)
А вообще, это криволинейный отрезок, который является частью конического сечения (эллипс/парабола/гипербола, это зависит от параметров в задаче).
1 лайк
НЕ понял эту подсказку
что то не получается
Общая скорость зонда складывается из векторной суммы скоростей \vec u + \vec V + \int d\vec v. Без дополнительно сообщенной скорости \vec u + \int d\vec v по сути было бы движением станции по кругу, причём d\vec v /dt=u^2/R. Хоть d\vec v и направлен в центр планеты, из-за движения корабля по некоторой траектории его суммарно создаваемый момент импульса, вообще говоря, не равен нулю. То есть, записывая закон сохранения момента импульса, нужно, во-первых, учитывать появляющееся плечо момента импульса r\sin \alpha для скорости \vec V и, во-вторых, учитывать, что компонента момента импульса для скорости \vec u + \int d\vec v равна ur (потому что \vec u + \int d\vec v будет всегда перпендикулярен радиусу-вектору \vec r). Итак, получаю
uR=ur-V\cdot r\sin \alpha,
r=\frac{R}{1-\frac{V}{u} \sin \alpha}.
2 лайка
А как это получить?
\vec u из условия перпендикулярна к направлению на центр планеты. Изменение скорости d\vec v обусловлено гравитационным притяжением:
\frac{d\vec v}{dt}=-\frac{GM\vec r}{r^3},
и, как видно, оно направлено к центру (-\vec r) планеты.
Для большей ясности я хочу снова сослаться на связанную с этой задачей тему:
Более строго я бы записал ответ из той задачи так:
d\vec v=-\frac{GM}{v_п r_п}d\varphi\cdot \hat r.
Полное изменение скорости суммируется таким образом:
\Delta\vec v = -\frac{GM}{V_пr_п}\int\hat rd\varphi,
то есть надо учитывать изменение направления этого радиального приращения в каждой точке из-за поворота базисного вектора \hat r. Но это изменение \Delta\vec v как раз-таки одинаково и для зонда, и для станции тогда, когда в сумме они заметут угол \alpha.
Самое главное в том, что это интегрирование не зависит от расстояния r зонда/станции до планеты, а зависит только от углового расположения объекта. Иначе говоря, в декартовых координатах \hat r = \hat x\sin\varphi + \hat y\cos\varphi, а такие координаты, будучи привязанными к зонду, не поворачиваются, значит интегрирование переходит в
\int\hat rd\varphi = \hat x\int\sin\varphi d\varphi +\hat y\int\cos\varphi d\varphi.
Теперь обращаем внимание на условие задачи:
когда зонд и станция видны из центра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта
Мы понимаем, что интегрирование проводится от 0 до \alpha одновременно и для зонда, и для станции. А значит их векторные приращения \Delta\vec v действительно равны – тогда их разность так и остаётся \vec V. Станция, хоть векторно и получает приращение \Delta\vec v через некоторое время, просто поворачивается по своей круговой траектории, сохраняя свою скорость u по модулю и оставаясь перпендикулярной \hat r. Это снова подтверждает те мои слова полуторалетней давности касательно зонда:
Из всего остального решение уже должно быть понятным.
7 лайков