Третья космическая скорость

Не могу понять как выходит


в первой задаче здесь

Помогите понять пожалуйста

А можно, пожалуйста, поточнее, вывод какой из формул непонятен?

1 симпатия

обоих

Решение от жюри олимпиады в самом деле немного запутанное (кстати, вот ссылка на него). Гораздо лучше расписано в 61 параграфе 1 тома Сивухина.

Формула (3) выходит из закона сохранения энергии, который они написали ранее.

\frac {mv^2}{2} - \frac {GMm}{r} = \frac {mv_\infty^2}{2}

Здесь r — радиус Земли, они его в начале обозначили по другому, но после этого почему-то решили написать так, v — скорость ракеты в системе отсчёта Земли, когда она только начала взлетать.

Скорость, которую необходимо развить, чтобы летать вокруг Земли по круговой орбите на расстоянии r от центра Земли выводится из 2 закона Ньютона:

\frac {GMm}{r^2} = ma_{ц.с.} = \frac {mv_k^2}{r}\\ v_k^2 = \frac {GM}{r}

И потом просто подставили это в закон сохранения энергии, сократили массы и умножили обе части уравнения на 2.

Вообще, начиная с 4 формулы и далее в решении небольшая путаница с буквами, потому что они разные скорости обозначают одинаковыми буквами.

Когда ракета покинула область притяжения Земли, мы считаем что она всё ещё находится на расстоянии R от Солнца. И нельзя забывать, что v_\infty мы считали в системе отсчёта Земли, поэтому чтобы найти V ракеты, когда она покинула притяжение Земли, в системе отсчёта Солнца, нужно векторно сложить её скорость относительно Земли и скорость Земли относительно Солнца:

\vec V = \vec v_\infty + \vec V_k (4)


Или более детально векторное сложение скоростей
image

Ну или если рассматривать модули скоростей, мы приходим к формуле (5)

5 симпатий