Плутон и Нептун

Физика Механика
1

7.98. Нептун совершает один оборот вокруг Солнца за время Т_1 = 165 лет, двигаясь практически по круговой орбите. Плутон, двигаясь по эллипсу, перигелий которого находится от Солнца на расстоянии приближенно равном радиусу орбиты Нептуна, совершает один оборот за время Т_2 = 248 лет. Известно, что Плутон оказывается ближе к Солнцу, чем Нептун, в течение времени t_2= 6,63 года. Исходя из этого, приближенно определить, за какое время t_1, Нептун проходит участок орбиты, который окажется снаружи эллипса Плутона, если совместить плоскости орбит этих планет.

IMG_20230829_203823_677
IMG_20230829_203823_6771280×916 41.3 KB

T_1 и T_2 для меня не проблема но как написать уравнение для t_1 и t_2, Помогите пж. Спасибо заранее

2

Попробуй связать площади с временами. Площадь маленького сектора dS=\frac{r^2d\varphi}{2}\rightarrow dS=\frac{Ldt}{2m}:

\int dS=\int \frac{Ldt}{2m}
1 лайк
3

Извините что пишу поздно но
dS=\frac{Ldt}{2m}
Как вы вывели это уравнение

4

L=mr^2\dot\varphi=mr^2\frac{d\varphi}{dt}

1 лайк
5

Пока что я догадался только до одной вещи что у них \phi будет одинаковый но, я не совсем уверен что это правильно

6

Можно попробовать использовать третий закон Кеплера

1 лайк
7

Да это правильно. Пусть угол между радиус векторами направленными от первого фокуса F_1 до точек пересечения эллипса с окружностью равен \theta. Тогда площадь окружности S_{окр.}=\frac{R^2\theta}{2}. Используя уравнение выше можно получить \frac{R^2\theta }{2}=\frac{L_1t_1}{2m_1}. Площадь сектора эллипса состоит из площади равнобедренного треугольника, бедрами которого являются два радиуса вектора от F_1 до точек пересечения эллипса с окружностью + площади сегмента между выпуклой частью эллипса и прямой, которая проходит через точки пересечения эллипса с окружностью.

S_{эл.}=S_{треуг.}+S_{сегм.}=\frac{R^2\sin\theta}{2}+S_{сегм.}

Площадь сегмента эллипса, то есть площадь между дугой эллипса и прямой, которая проходит через точки (x,y) и (-x,y):

S_{сегм.}=\frac{\pi ab}{2}-\frac{b}{a}\left(x\sqrt{a^2-x^2}-a^2\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right)

Дальше используешь тот факт, что S_{эл.}=\frac{L_2t_2}{2m_2}. Так как нам нужно посчитать все это приближенно то тебе можно считать, что t_1,t_2<<T_1, T_2 и скорее всего \theta<<1

1 лайк
8

Рахмет!! Вы мне очень помогли