Среднее значение без интегралов


Как вообще можно найти среднее значение без интегралов? Есть же только единственная формула для среднего значения. И то там используют интегралы

1 симпатия

В данной задаче тебя просят логически догадаться, какими будут интегралы. В одномерном ящике волновая функция симметрична относительно центра, то есть одинаковое количество частиц находится на \frac{l}{2} + \Delta l и на \frac{l}{2} - \Delta l. Поэтому среднее значение будет \frac{l}{2}.

В случае скорости, если среднее значение будет ненулевым, то будет тенденция движения в какую-то определенную сторону, но в таком случае частица бы выходила из ящика, она не могла бы оставаться внутри него. Поэтому среднее значение скорости должно быть равно нулю.

8 симпатий

А как симметричность и среднее значение связаны?

Задачи по квантам на аске задаются:
@DrMrmld сразу на месте😎

Симметричность говорит о том, что если ты построишь график плотности вероятности, то этот график будет симметричен относительно центральной оси, то есть если ты возьмешь какое-то число x и отступишь налево и направо на это количество, то ты попадешь в две точки, у которых одинаковое значение. Как с графиком y=x^2.

Когда ты смотришь на сумму, у тебя будет какое-то число \frac{l}{2}+x с определенной частотой (по классической терминологии), и с точно такой же частотой будет встречаться число \frac{l}{2}-x (для каждого x). Поэтому все усредняется к \frac{l}{2}.

3 симпатии

Строго говоря, симметричные (в данном случае относительно оси Оу) функции (математически – четные функции) обладают следующим свойством:

f(x)=f(-x)

В ящике центр симметрии находится на l/2, поэтому ось Оу можно провести там и можно снова использовать то же свойство.

Что это свойство нам дает?

Положим, что x – местонахождение в ящике, а f(x) – вероятность нахождения частицы в месте, заданном x. Тогда если переопределить x=l/2 как u=0, для нахождения среднего нам нужно будет просуммировать все u помноженные на их вероятность f(u).

В единицах u:

-n f(-n) + \dots -2 f(-2) -1f(-1)+0f(0)+f(1)+2f(2)+\dots + nf(n)

Очевидно, что если f(-u)=f(u), то все слагаемые кроме 0f(0) сократятся и сумма равна нулю. То есть среднее равно u=0 или x=l/2.

4 симпатии

А что даёт умножение местонахождения на его вероятность?

Средневзвешенное, что в данном случае и есть среднее значение координаты

Это похоже на нахождение средней массы воздуха.

А если переопределить x = l/2 как u = 1, можно как-то доказать, что среднее значение это половина длины?

u=0 является произвольным выбором начала отсчёта, так что да.

Как написал Антон, для чётной функции справедливо

в том случае, если ось симметрии совпадает с осью игрек. Если это не так, то нужно записать для такой функции

f(x-x_0)=f(x_0-x),

где x_0 – координата нашей оси симметрии функции.

Это похоже на любую формулу для средней величины. Например, средняя плотность смеси при наличии нескольких компонент (например, сплава) и для непрерывного распределения:

ρ=\frac{\sum ρ_i V_i}{\sum V_i}
ρ=\frac{1}{V}\int ρdV

Или формула для нахождения центра масс системы частиц

\vec r_c = \frac{\sum m_i \vec r_i}{\sum m_i}
5 симпатий

Да пожалуйста, переопредели u=1 как v=0

Система координат это всего лишь инструмент. Начало системы координат можно поставить где угодно.

Уверен? То, что ты написал, можно переписать как

f(u) = f(-u)

Тогда ось симметрии остается x=0 для любых x_0. Наверное, правильнее в таком случае написать

f(x_0 - x) = f(x_0 + x)

Тогда x=x_0 будет осью симметрии.

ну да. Вот это

я могу записать как f(x-x_0)=f(-(x-x_0)) и смысл остаётся тот же

В такой записи при любых x_0 осью симметрии будет ось Y.

Я как раз под x_0 подразумевал ось симметрии какой-либо функции.

Это выражение было бы правдой, отсчитывали бы мы x от x_0. Вот пример для моего выражения:


То есть заменяя u=x-x_0, я получу нормальное распределение с центром в 0. И это соответствует тому, что было сказано ранее:

принимая x_0=l/2.

2 симпатии
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)