По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы m каждый. К первому из брусков
прикладывают постоянную горизонтальную силу F. Определите скорость брусков перед n-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение
скорости при n, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между
брусками равна l. Удары брусков абсолютно неупругие.
2.5.38
2 лайка
Во первых рассмотрите скорость до которой разгонится брусок, которому прикладывают постоянную силу F до 1ого соударения
Далее рассмотрите столкновение она по условию 《абсолютно неупругое》- это означает то что тело с которым соударится брусок 《прилипнет к нему》
При этом столкновении скорость уже 《системы》из двух бросков изменится (и происходит это мгновенно)
Далее сила F продолжит ускорять эту систему и случится еще одно столкновение
Рассматривая таким образом 2-3 последовательных соударении вы заметите прогрессию с которой изменяется скорость V, далее воспользовавшись этим, вы сможете найти скорость после n-ного соударения
3 лайка
Рассмотрим 1-е и 2-е столкновение
Первое столкновение:
Из закона сохранения энергии
v_1^2=2a_1l
Учитывая 2-й закон Ньютона (a_1=\frac{F}{m})
v_1^2=\frac{2Fl}{m}
Где v_1 — скорость до столкновения
Закон сохранения импульса:
mv_1=2mv_1'
Откуда
v_1=\sqrt{\frac{Fl}{2m}}\quad\text{(1)}
Второе столкновение:
Аналогично, из закона сохранения энергии
v_2^2=v_1^2+2a_2l
Аналогично, учитывая a_2=\frac{F}{2m}:
v_2^2=\frac{Fl}{2m}+\frac{Fl}{m}=\frac{3Fl}{2m}
v_2=\sqrt{\frac{3Fl}{2m}}\quad\text{(2)}
Где v_2 — скорость после столкновения
Из v_1 и v_2 мы видим, что индекс скорости такой же, как коэффициент перед массой и \text{index}+1 вверху
Таким образом, это приводит к следующему рекуррентному соотношению
\boxed{v_n=\sqrt{\frac{Fl}{m}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)}}\quad\text{(3)}
Где v_n — скорость до n-го столкновения
Закон сохранения импульса n-го столкновения
v_nmn=u_nm(n+1)
{u_n=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}v_n}
Подставим в выражение \text{(3)}:
\boxed{u_n=\sqrt{\frac{Fl}{m\left(1+\frac{1}{n}\right)}}}
Когда n\to\infty, \frac{1}{n}\to0:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
Откуда следует, что скорость u_n после n-го столкновения, где n\to\infty, будет равна
\boxed{u_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{Fl}{m\left(1+\frac{1}{n}\right)}}=\sqrt{\frac{Fl}{m}}}
Источник: savchenkosolutions.com
2 лайка