Откуда получилась формула
x = A_0\exp(-\alpha t)cos(wt+\phi)
Я слышал, что она выводится с помощью мнимых чисел, но не знаю как
А вы знаете как выглядит дифференциальное уравнение, решением которого являются затухающие колебания? Что-то пробовали уже предпринять?
1 лайк
Скажем, какой-то объект соединен с пружиной, и опущен так, что объект просто висит на воздухе. В колебательном движении с затуханием учитывается, в таком случае, сопротивление воздуха, которое можно учесть при записывании второго закона Ньютона следующим образом:
m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx -b\frac{dx}{dt}
Чтобы найти выражение для x, очевидно, нужно решить это дифференциальное уравнение. Но стоит отметить, что это дифференциальное уравнение является линейным, и причем с постоянными коэффициентами m,k,b. А для такого случая имеется собственный метод решения дифференциального уравнения.
Давай начнем с простого. Вот скажем, есть у нас элементарное дифференциальное уравнение первого порядка, \displaystyle y' =y. Здесь просто можно придти к ответу, если рассмотреть вопрос “у какой функции ее же производная равна самой функции?”. На ум приходит функция y = e^t. Хорошо, а если рассмотреть y' = 6y? Здесь вопрос концептуально тот же, но добавляется одна деталь. Тогда вопрос превращается в “у какой функции ее же производная равна произведению самой функции на шесть?”. Интуитивно, на основе прошлого примера, на ум приходит функция y = e^{6t}. Отлично, а если теперь рассмотреть дифференциальные уравнения y'' = y, \ y'' = y', y'' = 4y? Здесь абсолютно такой же подход на основе выработанной интуиции. Например, если рассмотреть дифференциальное уравнение y'' = 4y, то на ум сразу же приходит решение в виде функции y = e^{2t}.
Стоит отметить, что все эти примеры являются частными случаями следующего дифференциального уравнения в общем виде:
ay'' + by' + cy = 0 \ (a,b,c - константы)
И здесь, на основе той же интуиции, если подобрать решение y = e^{rt}, то мы получим следующее:
ar^2e^{rt} + bre^{rt} + ce^{rt} = e^{rt}(ar^2 + br + c) = 0
Поскольку e^{rt} \ne 0, все сводится к решению квадратного уравнения ar^2 + br+c= 0.
r= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Есть всего лишь три случая:
- В первом случае b^2-4ac >0, и тогда мы получим два разных значения для r, а посему получаем два решения дифференциального уравнения, y_1 и y_2.
- Во втором случае b^2 -4ac = 0, и тогда мы получим лишь одно значение для r, и следовательно, лишь одно решение дифференциального уравнения, y_1.
- В третьем случае b^2 -4ac <0, и здесь начинается самое интересное.
Если рассуждать в контексте интересующего нас дифференциального уравнения, то выражение для r будет выглядеть следующим образом:
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4mk}}{2m}
Для довольно маленьких b справедливо неравенство b^2 < 4mk, и тогда r можно записать как
r = -\frac{b}{2m} \pm \frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}i = \alpha \pm \beta i
В таком случае мы получаем два решения этого дифференциального уравнения:
x_1 = e^{(\alpha + \beta i)t} ; \ x_2 = e^{(\alpha -\beta i)t}
Вспоминаем формулу Эйлера (которую можно вывести с помощью ряда Тейлора), тогда получится, что e^{(\alpha + \beta i)t} = e^{\alpha t}(\cos(\beta t) +i\sin(\beta t)), а e^{(\alpha - \beta i)t} = e^{\alpha t}(\cos(\beta t) - i\sin(\beta t)). Значит,
x_1 = e^{\alpha t}(\cos(\beta t) + i\sin(\beta t))
x_2 = e^{\alpha t}(\cos(\beta t) - i\sin(\beta t))
Видим, что x_1 и x_2 являются линейной комбинацией двух фундаментальных решений e^{\alpha t}\cos(\beta t) и e^{\alpha t}\sin(\beta t) (можешь проверить сам). Можно доказать, что если мы имеем два фундаментальных решения дифференциального уравнения второго порядка, то их линейная комбинация также является решением дифференциального уравнения (оставлю также на тебя). Итого получается, что общим решением нашего дифференциального уравнения выглядит следующим образом:
x = c_1e^{\alpha t}\cos(\beta t) + c_2e^{\alpha t}\sin(\beta t)
Дальше мне кажется тебе виднее, и надо лишь найти два начальных условия, чтобы найти коэффициенты c_1, c_2. Напоследок лишь напомню, что
\alpha = -\frac{b}{2m} ; \ \beta = \frac{\sqrt{4mk - b^2}}{2m} = \sqrt{\frac{k}{m} - (\frac{b}{2m})^2} = \sqrt{\omega_0 - (\frac{b^2}{2m})^2} = \omega
20 лайков