Как произошел переход с уравнение 1,44 на 1,45? Можно более поподробней?
2 лайка
Дифференциальные уравнения — такая штука, что не всегда прямое решение является оптимальным способом, как например в данном случае. В таких случаях можно “угадать решение”, основываясь на том, что дифференциальное уравнение имеет очень знакомый вид. Что и сделал Морин
Немного лирики
Немного отложим уравнение в сторону, чтобы поговорить о функциях. Математики, как известно, любят придумывать всякие неординарные штуки, которые потом оказываются очень полезными. Ну и придумали они аналог синуса и косинуса, но вместо круга взяли гиперболу и вместо угла площадь между радиус-вектором и графиком гиперболы[1]. А назвали их, как мог догадаться читатель, синус гиперболический \sinh и косинус гиперболический \cosh. И точно так же как между синусом и косинусом есть красивое соотношение:
\sin ^2 z+ \cos ^2 z= 1
Между этими двумя функциями есть чуть менее красивое соотношение, которое и приведено в книге
1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z
Так как мы имеем дело с дифференциальным уравнением, то хорошо бы ещё узнать производные этих функций. Именно их я сейчас предоставлю, а вы поверите мне на слово, сможете найти их по ссылке [1:1].
(\sinh z)' = \cosh z\\
(\cosh z)' = \sinh z
Если вы уже знакомы с гиперболическими функциями, то данная вставка не имеет для вас пользы, но кому-то другому она может быть полезна
Решение уравнения
Прежде, чем приступать к этой части настоятельно рекомендую попробовать “угадать” решение гармонического колебания. Так будет легче понять, логику рассуждений, а может и самостоятельно прийти к решению.
\ddot x + \omega ^2 x = 0
Решение
Чтобы решить уравнение, нужно как-то изменить аргумент функции, чтобы y(x) и y'(x) подходили под уравнение. Первое и самое очевидное, основываясь на том что (\text{const})' = 0 можно сказать, что
y + h = A \cosh z
Теперь мы видим, что в левой части уравнения, к производной прибавляется 1, а не какое-то число. Следовательно,
A = \frac 1 \alpha
Теперь возьмём производную и посмотри что будет
(A \cosh z)' = A \sinh z
Коэффициент A возле \sinh — нехорошо, потому что его исходя из уравнения не должно быть. Также мы знаем , что (f(сt))'= ct' f'(ct), и нам надо избавиться от A, поэтому приходим к тому, что
z = \alpha t
Где t — ещё одна функция. В конечном итоге приходим к функции
y + h = \frac 1 \alpha \cosh (\alpha t)
Это дифференциальное уравнение первого порядка, поэтому несложно догадаться, что нам нужна константа, которая определяется начальными условиями, и t очень хорошо предоставляет место, для такой константы
y + h = \frac 1 \alpha \cosh \left( \alpha (x + a) \right)
Действительно, решение подходит к уравнению, значит наши угадывания были верны. Данный метод очень полезен, в случаях когда есть большой опыт работы с определённой функцией, и не так полезен, если только начал знакомство с функциями. В любом случае, если не нравится угадывать решение, прошу любить и жаловать решение через разделение переменных, которое также приведено Морином
P.S. Тут немного читерное угадывание вышло, потому что я уже знал ответ и мне надо было придумать цепочку рассуждений, чтобы прийти к нему
5 лайков
А иногда и вообще каких-то аналитических методов решения нет, особенно если речь про нелинейные дифференциальные уравнения, коим и является уравнение 1.44.
Поэтому метод “угадай форму ответа, а потом проверь” хоть и кажется “не математическим”, зачастую может быть лучшим, что мы можем сделать
3 лайка
Спасибо теперь мне понятно как был совершен переход к этому уравнению!
Если ± такое уравнение на олимпиаде встретиться что надо делать? Вряд-ли мне ответ напишут и попросят к нему прийти(больше будет казаться на математическую олимпиаду)
Насколько часто используется гиперболические функции при решении дифференциальных уравнений и это равенство?
1 лайк
ну к примеру линейные дифференциальные уравнения, которые состоят из суммы x, \dot x, \ddot x, имеют в решении экспоненту, поскольку это мотивировано тем, что (e^x)'=e^x, например
\ddot x = \omega^2 x
имеет решение вида x=Ae^{\omega t} + Be^{-\omega t} (подставь это решение в изначальный диффур, и ты увидишь как всё сходится). А поскольку
\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2},\quad\cosh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},
то если начальные условия пойдут так, что A=1/2, B=\pm1/2, то решение можно либо оставить либо в виде таких экспонент, либо привести к \sinh{\omega t} или \cosh{\omega t}.
Интересный факт
Если \omega^2<0, то мы получим синусоиду, а это справедливо, так как
\sinh{x} = -i\sin{ix},\quad \cosh x = \cos{ix}.
Эти соотношения ты можешь вывести, записав систему из двух линейных уравнений подстановкой z=x и z=-x в тождество Эйлера e^{iz} = \cos z + i \sin z.
То есть из-за того, что гиперболические функции могут появляться при решении таких простейших диффур, то логично, что они могут попадать в программу физических олимпиад. Да и вообще, уж очень даже полезно знать такие табличные интегралы, как
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\text{arsinh}\space x + C, \quad \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\text{arcosh}\space x + C.
8 лайков