Как произошел переход из уравнения (3.49) к (3.50)? Не особо понял объяснение от автора. То что коэффициенты комплексные понятно, но откуда взялось A_2^*=A_1= \frac{B_1}{2} e^{i \phi_1}?
3 лайка
Для уравнения x = A_1e^{i\omega t} + A_2e^{-i\omega t} можно взять b = e^{i\omega t}. Так как e^{-i\omega t} сопряженно к e^{i\omega t}, его запишем как e^{-i\omega t} = b^* (еще обозначается как \bar b). Тогда уравнение примет следующий вид:
x = A_1b + A_2b^*
Из условия \mathrm{Im}(x) = 0 выходит, что
\mathrm{Im}(A_1b) = -\mathrm{Im}(A_2b^*)
Или же
\mathrm{Re}(A_1)\mathrm{Im}(b) + \mathrm{Im}(A_1)\mathrm{Re}(b) = -\mathrm{Re}(A_2)\mathrm{Im}(b^*) - \mathrm{Im}(A_2)\mathrm{Re}(b^*)\\
\mathrm{Re}(A_1)\mathrm{Im}(b) + \mathrm{Im}(A_1)\mathrm{Re}(b) = \mathrm{Re}(A_2)\mathrm{Im}(b) - \mathrm{Im}(A_2)\mathrm{Re}(b)
Так как это условие должно быть справедливым для произвольных значений b, получаем
\mathrm{Re}(A_1) = \mathrm{Re}(A_2) \\
\mathrm{Im}(A_2) = - \mathrm{Im}(A_2)
Или же
A_1^* = A_2
И ввиду того, что A_1 можно записать произвольно,
A_1 = (B/2)e^{i\phi}\\
A_2 = A_1^* = (B/2)e^{-i\phi}
В итоге из изначального уравнения получится
x = (B/2)\left(e^{i(\omega t + \phi)} + e^{-i(\omega t + \phi)}\right)
Из формулы Эйлера несложно получить \frac{\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)}{2} = \cos x. Следовательно,
x = B \cos (\omega t + \phi)
8 лайков
Спасибо, теперь понял