Задача про движение точки с ускорением, меняющим направление

Физика Механика
1

Мякишев, упражнение 3, задача 7: “По прямой начинает двигаться точка с постоянным ускорением. Спустя время t_1 после начала ее движения направление ускорения точки изменяется на противоположное, оставаясь неизменным по модулю. Определите, через какое время t_2 после начала движения точка вернется в исходное положение”.

Рассуждать я начал так:

Сначала точка, ускоряясь, прошла какое-то расстояние за время t_1, а затем, замедляясь, ещё какое-то расстояние за время t_3(равное t_2-t_1), пока её скорость не стала равной 0, после чего она, ускоряясь, двигалась в обратную сторону и прошла всё расстояние за время t_2.

Первое расстояние S_1=\dfrac{at_1^2}{2}
Расстояние после изменения направления ускорения S_2=at_1t_3-\dfrac{at_3^2}{2} (когда она изменила направление ускорения — у неё была какая-то скорость v_0=at_1, которая постепенно уменьшалась, пока не стала равной 0)
Расстояние в обратную сторону до исходного положения S_3=\dfrac{at_2^2}{2}

S_3=S_1+S_2

\dfrac{at_2^2}{2}=\dfrac{at_1^2}{2}+at_1t_3-\dfrac{at_3^2}{2}

Дальше я попадаю в тупик(

2

Рассуждаешь правильно. Просто кажется, будто ты наплодил сущностей, в виде третьего времени (и да, у тебя сумма времен с условием не вяжется).

Просто еще раз составь уравнения, тебе должно хватить t_1 и t_2, и можно не искать момент когда она поменяет направление движения, т.к. формула то для перемещения (S=v_0t+at^2/2), а не для пути. А можешь как делал сам еще раз повторить всё (проверь сумму времён только), а в конце подставишь t_3 и получишь квадратное уравнение от t_2, которое можно решить. Просто у тебя больше телодвижений будет.

2 лайка
4

Да, t_3 действительно не равен t_2-t_1, я напутал( Сделал рисунок и воспринимал время как расстояние.

Можно подробнее про перемещение? Тут ведь полное перемещение равно нулю(точка вернулась в исходное положение). А если брать как два перемещения(туда и обратно), то что делать с промежутком времени и пути, в течение которых точка изменила направление ускорения и замедлялась?

5

Ничего не делать. У тебя S_1+S_2=0, главное найди как S_2 выразить через a,t_1,t_2
Ты видимо путаешь понятие пути и перемещения, раз представляешь границу между S_1 и S_2 как “туда и обратно”. У тебя во время прохождения S_2, точка успевает проехать вперед, остановиться и вернуться обратно, и это всё S_2

Попробуй нарисовать графики ускорения, скорости и перемещения, если тяжело представить.

6

Точка начинает движение с ускорением a вдоль Ox в точке O=0 и меняет направление ускорения в точке A=x_1 на противоположное, модуль остаётся равным a.
Время движения из точки O в точку A — t_1, из точки O в A и обратно в O — t_2. Тогда обратно из A в O — t_2-t_1

\begin{gather*} x_1=\frac{at_1^2}{2}\\ x_2=x_1+v_1(t_2-t_1)-\frac{a(t_2-t_1)^2}{2} \end{gather*}

x_2=0 т.к. точка вернётся в начало отсчета(точку O)
v_1=at_1 — скорость в точке A в момент времени t_1

\begin{equation*} \begin{split} x_2 &= \frac{at_1^2}{2}+at_1(t_2-t_1)-\frac{a(t_2-t_1)^2}{2}\\ &= \frac{a}{2} (t_1^2+2t_1t_2-2t_1^2-t_2^2+2t_1t_2-t_1^2) \end{split} \end{equation*}
\begin{gather*} t_2^2-4t_1t_2+2t_1^2=0\\ t_2=\frac{4t_1+\sqrt{16t_1^2-8t_1^2}}{2}\\ t_2=t_1(2+\sqrt{2})\\ \end{gather*}
5 лайков
7

Спасибо большое! :clap:

Не понимаю только преобразования в предпоследней строчке, где корень из разности

8
t_2=\frac{4t_1+\sqrt{16t_1^2-8t_1^2}}{2}=\frac{2\cdot 2t_1+\sqrt{4t_1^2(4-2)}}{2}=\frac{2\cdot 2t_1+2t_1\sqrt{2}}{2}

Сокращаем дробь на 2.

t_2=2t_1+t_1\sqrt{2}=t_1(2+\sqrt{2})
1 лайк
9

Спасибо!