(МХО, 2005, тренировочные сборы). Двумерный ящик

Нужна помощь с седьмым пунктом задачи.

Решение:

  1. Зачем нужно найти среднее значение скорости?
  2. Если для решения используется формула для среднего значения ( A = \int \psi^*(x) \cdot \hat{A} \cdot \psi(x) dx ) почему вместо комплексно-сопряженной волновой функции написано обычная волновая функция?
  3. Почему среднее значение скорости равен нулю? Почему не \frac{-i \bar{h}^2}{2m} \cdot l_{x}^{2}?
  4. Почему построили график?
  5. Чем отличается \left \langle v^2_{x} \right \rangle от \left \langle v_{x} \right \rangle^2 ?
  1. Среднюю скорость нужно найти, чтобы потом использовать её для нахождения дисперсии по формуле: \Delta v_x = (\langle v_x^2 \rangle - \langle v_x \rangle^2)^{1/2}

  2. В модели частица в двумерном ящике волновая функция имеет вид:
    \psi = \sqrt{2/l_x} \sqrt{2/l_y} sin(\frac{\pi n_x x}{l_x}) sin(\frac{\pi n_y y}{l_y})
    По оси x: \psi = \sqrt{2/l_x} sin(\frac{\pi n_x x}{l_x})
    По оси y: \psi = \sqrt{2/l_y} sin(\frac{\pi n_y y}{l_y})
    Волновая функция не имеет мнимой части, поэтому \psi* = \psi . Авторы лишь сразу заменили комплексно-сопряжённую функцию на обычную.

  3. В соответствии с решением от авторов:
    \langle v_x \rangle = - \frac{i\hbar}{2m}(\psi^2(l_x) - \psi^2(0))
    \psi^2(l_x) - \psi^2(0) = (\sqrt{2/l_x} sin(\frac{\pi n_x l_x}{l_x}))^2 - (\sqrt{2/l_x} sin(\frac{\pi n_x \cdot 0}{l_x}))^2 = (2/l_x)(sin^2(\pi n_x) - sin^2(0)) = \sqrt{2/l_x}sin^2(\pi n_x)
    На низшем уровне n_x = 1 , значит:
    \psi^2(l_x) - \psi^2(0) = \sqrt{2/l_x}sin^2(\pi) = 0

  4. Не совсем понимаю к чему этот график в решении, могу лишь предположить что это часть волновой функции по оси x при n_x = 3 :

f(x) = sin(\frac{\pi3x}{0.8})

  1. Они отличаются тем, что первое является средним значением квадратов, в то время как второе является квадратом средних значений. К примеру возьмём ряд случайных значений переменной x: 3 5 5 12 7.
    Для этого ряда:
    \langle x^2 \rangle = 3^2 \cdot 0.2 + 5^2 \cdot 0.4 + 12^2 \cdot 0.2 + 7^2 \cdot 0.2 = 50.4
    \langle x \rangle^2 = (3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.4 + 12 \cdot 0.2 + 7 \cdot 0.2)^2 = 40.96

Если же у нас не ряд значений переменной, а непрерывная функция, сложение значений заменяется на интегрирование функции, а в квантах к этому добавляются ещё некоторые модификации.

Надеюсь стало понятнее )

13 симпатий
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)