Здравствуйте, я тут пробовал написать закон вращательного движения относительно нижней точки, учитывая, что момент инерции меняется, но зависимость скорости от ‘x’ у меня вышла другая, не понимаю почему.
3 лайка
Момент силы относительно точки касания без скольжения можно написать только если ускорение направлено прямо на центр масс (как при обычном случае с цилиндром).
Частица с радиус-вектором \vec r в неподвижной системе координат имеет радиус-вектор \vec r' = \vec r - \vec r_A в системе координат точки A, где \vec r_A – радиус-вектор точки A в изначальной неподвижной системе.
Запишем момент импульса системы относительно A:
\vec L_A = \sum_i m_i\vec r_i' \times \vec v_i' = \sum_i m_i \vec r_i' \times (\vec v - \vec v_A)
\frac{d\vec L_A}{dt} = \sum_i m_i \vec r_i' \times (\vec a_i - \vec a_A)
\vec M_A = \sum_i m_i \vec r_i'\times \vec a_i, поэтому
\vec M_A = \frac{d\vec L_A}{dt} + M\vec r_C' \times \vec a_A
где \vec r_C' – радиус-вектор центра масс относительно точки A.
Для обычного случая с катящимся цилиндром и \vec r_C', и \vec a_A (центростремительное) направлены к центру цилиндра, и последнее слагаемое уходит в ноль. Но так как в этой задаче часть массы остается позади, то в \vec r_C' появляется горизонтальная составляющая, и таким образом уравнение моментов сил оказывается намного труднее (решение через этот способ оставлено читателю как упражнение).
4 лайка
Но я же могу мысленно в каждый момент времени в нижней точке касания отрезать нить и написать для верхней части закон вращательного движения? И это просто станет та же задача с цилиндром, у которого магически меняется радиус (это учитывается в моменте инерции).
2 лайка
Кстати, ваша и моя формула для вращательного движения немного отличаются. Вы определили момент импульса как mr′v′ (где штрихованные величины относительно движущейся оси), а я как mr′v (здесь скорость уже в неподвижной системе отсчёта Земли). В результате при первом определении добавочная компонента (из-за движения оси) не зануляется, как вы заметили выше, а если использовать второе, то здесь добавочная равна нулю, поскольку векторное произведение скоростей движущейся оси и центра масс равно нулю (они параллельны), что и использовано в решении (подробнее Сивухин § 37). Но всё-таки в таком решении ошибку найти не получается(
2 лайка
Дело в том как ты записываешь этот самый момент импульса. Если хочешь понять как записывать с ускорениями то можешь прочитать Dropbox ( это с кевина ), но можно решить эту задачу записав моменты сил относительно центра масс.
тут весь прикол в записи
\frac{dL}{dt} = (\frac{\sigma r(t)^3v(t)}{2})'= F_1 r
где \sigma = \frac{m(t)}{\pi r^2}
так как точка приложение силы меняется то можно взять как систему массу m(x) которая сейчас вращается, затем записать изменение импульса для именно движущей части.
где сила F_2 сила которая остается на месте
F_2dt = F_1dt - dmv
-F_2 = \frac{dp}{dt}
В итоге получаем дифур
-\frac{\dot r}{r} = \frac{\dot v}{v}
И
r ~ \sqrt m
Что приводит нас к ответу
3 лайка
Спасибо всем. Я нашёл ошибку в своих рассуждениях. Проблема была в том, что компонента, которая у меня добавляется из-за движения оси, не равна нулю, поскольку скорости не параллельны между собой, так как у центра масс ещё есть вертикальная скорость dr/dt. Если это тоже учесть, то ответ сходится.
3 лайка