Добрый вечер, помогите, пожалуйста, разобраться со значениями в ответе:
Почему орбитали расположены именно таким образом, и как определили значения квантовых чисел?
3 лайка
Кажется, в задаче есть еще информация, потому что из той, что вы дали, невозможно получить ответ. Похоже на то, что вещество аппроксимируется моделью двумерного прямоугольного ящика с соотношением сторон 1:2 (L_y : L_x). Эту информацию надо было получить из части условия, которую вы не прикрепили (как я полагаю).
А расставить эн. уровни можно уже зная выражение для энергии частицы в зависимости от квантовых чисел n_x и n_y. Числа рядом с эн. уровнями это значения n_x и n_y (для второго уровня n_x = 2 и n_y = 1). Вы знаете такое выражение?
После того, как расставили эн. уровни, просто заполняете их электронами так, чтобы общая энергия состояния (которая является суммой энергий всех частиц) была минимальной.
ED: Вообще, в условии не говорится указать конкретно ground state, то есть состояние с минимальной энергией, но в ответе дано оно.
7 лайков
Спасибо за ответ! Да, в условии сказано про двумерный ящик (1:2). Но вот о выражении, которое Вы написали, я не знаю. Есть какая-то закономерность для определения ny? (nx получается соответствует номеру уровня?)
3 лайка
Ну есть выражение для энергии в модели одномерного ящика:
E = \frac{h^2 n^2}{8mL^2}
Здесь h — постоянная Планка, m — масса частицы, L — длина стороны ящика (у ящика здесь только одна сторона, потому что он одномерный), а n — квантовое число. Допустим, хотим узнать, чему равна энергия частицы на уровне с n = 1. Она равна E_1 = \displaystyle\frac{h^2}{8mL^2}. Если подставить n = 2, получится E_2 = \displaystyle\frac{4h^2}{8mL^2}, то есть E_2 = 4 E_1. И так энергия будет увеличиваться с ростом n, поэтому в этом случае это будет соответствовать номеру уровня.
В этой задаче ящик двумерный, для него энергия немного иначе выражается.
E = \frac{h^2}{8m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} \right)
В нашем случае L_x = 2 L_y. Тогда можно даже обозначить L_y за L и немного удобнее расписать.
E = \frac{h^2}{8mL^2} \left( \frac{n_x^2}{4} + n_y^2 \right)
И потом просто смотреть, чему равна энергия частицы при разных значениях n_x и n_y. И каждая пара этих чисел будет описывать один энергетический уровень. В некоторых случаях, для разных пар энергия может оказаться одинаковой, как в нашей задаче это случилось с (4, \ 1) и (2, \ 2) (из этого факта я узнал, что стороны ящика относятся как 1 к 2; проверь, так ли это).
То есть по идее мы просто поочередно вставляем в формулу разные значения для n_x и n_y, а потом сравниваем полученные значения. Но если немного побыть математиком, можно облегчить себе жизнь и сразу разгадать то, какие уровни (пары чисел) будут иметь одинаковую энергию, какие бóльшую, а какие меньшую.
Сейчас можешь просто посмотреть на эти формулы, может что-нибудь подметить, а запоминать не обязательно, все равно они пока не особо много смысла для тебя имеют. В книге Atkins и de Paula “Elements of Physical Chemistry” есть глава с этими моделями ящика, там многое о нем можно понять. Хорошо бы, конечно, еще перед этими главами изучить то, что написано в главах до этой.
8 лайков
Не знаете в чем прикол двумерного ящика?
Если одномерный ящик показывает область движения электронов по относительно плоской молекуле, то что показывает двумерные ящики?
3 лайка
Все эти ящики и не ящики — это попытка описать движение электрона с помощью простой модели. Допустим, есть линейная молекула — \ce{H2C=CH-(CH=CH)_3-CH=CH2}. С довольно хорошей точностью можно сказать, что \pi-электроны в ней движутся по прямой. То есть так, будто эти электроны находятся в одномерном ящике — движутся только либо вправо (условно), либо влево.
Но мы знаем, что молекула эта, хоть и очень похожа на просто прямую линию, на самом деле является как минимум двумерной. А значит, если мы учтем движение электронов по второй оси (а не только по одной), точность теоретических вычислений по этой новой модели увеличится. Это двумерный ящик, электрон может двигаться не тоьлко вправо и влево, но и вверх и вниз. С такой же логикой можно добавить третью ось — получится трехмерный ящик.
4 лайка
Спасибо за ответ, но можно ещё вопросы задать?
Они считают только движение электронов, или ещё чего-то?
Они считают электроны, которые движутся лишь по углеродам, или по всей молекуле включая водороды?
Если молекула не делокализована, эти ящики будут на них работать?
Если электроны будут двигаться вверх и вниз, то разве их потенциальная энергия не возрастет? Типо ось y это же потенциальная энергия как я понимаю, которая идёт бесконечно вверх в случае одномерного ящика, и как-то ограничивается в случае двухмерного.
2 лайка
Модель частицы в ящике применяется для описания пи-электронов в сопряженных системах. Только электронов и только пи-электронов.
Если в ней нет сопряженной цепи, длина ящика – длина одной двойной связи.
“вверх” и “вниз” это условные направления, не имеющие ничего общего с “вверх” и “вниз” в нашем человеческом мире. Потенциальная энергия у мячика, который поднимается в нашем макро-мире вверх, появляется благодаря ускорению свободного падения, которое является результатом силы гравитации.
В рамках модели частицы в ящике подразумевается, что внутри ящика потенциальная энергия электрона равна нулю – на него не действуют никакие силы.
Нет, нарисуйте бутадиен на листе бумаги. Лист бумаги – двумерная плоскость. у этой плоскости есть вправо влево и вверх вниз. Вот вам и два направления ящика.
2 лайка
А если двойных связей несколько, при этом они не сопряжённы?
А как тогда их понимать? Изначально ведь мы считали, что они движутся только влево или вправо, но они ведь могут двигаться вверх или вниз по своим p орбиталям.
Только в рамках этой молекулы, или в целом?
Я это понял, но разве по оси Х не идёт размер молекулы, а по оси У потенциальная энергия, и поэтому электроны движутся строго по оси Х и выйти из ящика не могут из за бесконечно высоких стенок, символизирующих бесконечную потенциальную энергию.
2 лайка
Тогда всю молекулу плохо получится описать с помощью этой модели, потому что в модели подразумевается, что в молекуле есть сопряженная система, а потому \pi-электроны в этой молекуле распространяются по большей (единой) области, которую мы аппроксимируем моделью ящика.
В целом, что такое модель? Как ты понимаешь?
Исходя из этих слов могу предположить, что ты немного не понимаешь, что такое модель. Попытаюсь объяснить.
Когда ты слышишь “модель какой-то машины”, ты скорее всего можешь себе представить уменьшенную, упрощенную версию конкретной машины, о модели которой идет речь. Чем отличается модель от реальной машины? Тем, что она в чем-то упрощена. Размер уменьшен — может, чтобы было легче переносить. Не обязательно колеса могут крутиться, зависит от модели. Может и не быть двигателя, может не открываться капот или багажник. Могут даже двери не открываться. В общем, модель, по определению, отличается от оригинала тем, что в чем-то упрощена. А как оценить, насколько хорошо была сделана модель? Для этого надо знать цель, с которой была сделана модель. Допустим, нам нужна была игрушка для совсем маленьких детей, скажем до 3-х лет. Если эта игрушка (наша модель) сделана из металла, она будет тяжелой. Дети до 3-х лет могут спокойно бросить ее в другого такого же ребенка, поэтому такая игрушка, даже если она будет очень детализованной, будет хуже другой, которая совсем проста и сделана из легкого пластика, потому что вторая более безопасна, а для 3-летнего ребенка (или меньше) детали самой машины не так важны; есть фары, есть двери — все, это машина. Но если цель другая? Допустим, мы хотим выпустить линию моделей реальных машин для любителей, чтобы они могли собирать коллекцию из таких моделей. В таком случае, из предыдущих двух вариантов будет смешно выбрать пластиковую игрушку, потому что в ней настолько мало деталей, что ее нельзя назвать моделью какой-то конкретной машины. Для коллекции (конкретно той, о которой я говорю) она тогда совершенно бесполезна.
Модели в химии — это то же самое, упрощенная версия того, что есть на самом деле[1]. Насколько должна быть упрощена модель? Зависит от цели, для которой эту модель будем использовать. В науке модели придумываются, чтобы можно было прогнозировать исход каких-то процессов или явлений. Мы можем просто наблюдать, но вот если мы придумаем хорошую модель, то сможем с хорошей точностью делать какие-то предположения. Хороша ли модель атома, предложенная Бором? Я бы сказал, да. Кто-то может сказать, что она не верна. Ну да, она не верна, но на то она и модель, она не должна полностью соответствовать реальности. Она нужна для наших исследований. К примеру, с помощью этой модели атома можно с хорошей точностью вычислить радиус атома водорода. Это ведь уже круто. Если нам надо качественно объяснить тренды в периодической таблице, мы точно так же можем использовать эту модель. Во-первых, если мы это объясняем школьникам, то она намного понятнее и более интуитивная по сравнению с моделью Шредингера. Во-вторых, нам ведь достаточно качественно объяснить какие-то тренды. Почему радиус атомов увеличивается вниз по группе? Потому что они находятся на новом уровне, появляется новое кольцо вокруг ядра, у которого радиус больше. И это сразу понятно школьникам и не только школьникам.
Теперь к твоему случаю. Можем ли мы использовать модель частицы в одномерном ящике? Зависит от того, насколько точный нам нужен результат и от того, как выглядит молекула. Если сопряженная система молекулы выстраивается в длинный зиг-заг, то логично было бы ожидать, что эту всю систему можно хорошо аппроксимировать одной линией, по которой двигаются \pi-электроны. Если система сильно отличается от линии, лучше использовать модели с двумерным или трехмерным ящиками. Если нам нужен довольно точный результат, то нам в целом стоит подумать о других моделях, а не о частице в ящике. В этих ящиках, к примеру, мы ведь думаем об одной частице, но в молекулах, которые мы изучаем, не один \pi-электрон, а значит кучу взаимодействий между элеткронами мы не учитываем. Но если ответ нужен не прям точный, а просто очень грубая оценка, и молекула по форме подходит, то можно воспользоваться и ящиками.
А вообще, в целом про квантовую мехинку ты где-то начинал читать? Как знаком с классической механикой? С общей химией? С органической? Мне кажется, ты пытаешься бежать впереди паравоза.
Это удобно тем, что упрощенные модели легче исследовать, по ним легче делать вычисления, по сравнению с реальным миром, где есть куча факторов, которые слишком трудно учесть. А если можно достигнуть нужного результата с помощью упрощенной модели, то попытки учесть все реальные факторы были бы даже излишними. ↩︎
9 лайков
Спасибо большое за пояснение, «модели» как я понял, это лишь очень грубая оценка реальности, а модели ящиков описывают довольно ограниченное число молекул.
Кванты вот с теормата читаю.
В каком смысле с классической механикой? Все мои знания по физике, ограничиваются 9 классом.
Общую и органическую химию изучал.
Почему вам кажется, что я спешу?
2 лайка
Следующие твои слова:
Из-за них мне кажется, что ты изучаешь темы не тщательно, потому что ты не до конца понимаешь, про какие графики говоришь. Если ты говоришь про диаграмму эн. уровней, то мы там не откладываем значения x, мы просто рисуем черточки, которые обозначают конкретный эн. уровень и рядом подписывам квантовые числа, которые определяют этот уровень. Если ты говоришь про график, где мы откладываем ось x, то в нем на оси y скорее всего не потенциальная энергия, а волновая функция. На таком графике визуально показывается, что частица существует только внутри ящика — волновой функции не существует вне границ, а на границах она должна быть равна нулю.
Поэтому стоит задуматься над тем, чтобы заново изучить пройденные темы, только более тщательно. Иначе получится, что ты прочел книги по всем разделам химии, но почему-то все еще не можешь понять некоторые, казалось бы, довольно простые вещи.
3 лайка
В ютубе один профессор когда рисовал ось у для ящика, то сказал, что это потенциальная энергия, когда Х меняется в пределах
от 0 до L - потенциальная энергия равна 0, а на границах возрастает до бесконечности. Я просто процитировал его слова.
А вот, что такое это волновая функция я так и не понял, смотрел видосы, но там говорили, что учёные сами ещё толком ее не понимают, они знают лишь что квадрат модуля этой функции даёт значения плотности вероятности.
Кстати, получается в каких-то местах у сопряжённой молекулы вероятность найти электрон выше чем в других местах?
1 лайк
Ну это тоже правда, да, но надо понимать, как этот график связан с движением частицы. Если ящик не одномерный, то график будет выглядеть иначе.
Такое может быть у любой молекулы. Мы говорим, что электронная полтность в какой-то части молекулы выше, чем в другой.
Тогда стоит почитать книги, если не получилось найти ответа в видосах.
2 лайка
Нет вы не поняли. Я попросил нарисовать молекулу бутадиена на листе бумаги. Откуда у вас на листе бумаги взялась потенциальная энергия – вопрос к гадалке.
Давайте начнем с самого начала. Одномерное пространство это линия. Для того чтобы однозначно определить любую точку этого пространства достаточно одного числа: назовем его x. Двумерное пространство это плоскость. Например плоскость листа бумаги. Чтобы определить любую точку нужно два числа: x и y.
Посмотрим на молекулу бутадиена. Вот как она выглядит на листе бумаги:
Если мы моделируем молекулу бутадиена как модель в одномерном ящике, мы говорим давайте считать, что молекула бутадиена плоская и линейная. Т.е. электроны могут бегать только в одном направлении, например вправо-влево.
Если мы моделируем молекулу бутадиена как модель в двумерном ящике, мы говорим давайте признаем, что молекула бутадиена плоская. Электроны могут бегать в двух направлениях: вправо-влево и вверх-вниз. Вверх вниз – не больше, чем одно из направлений пространства.
Все.
Вы говорите о графике энергии для одномерного ящика. Если на этом графике ось y обозначается за потенциальную энергию, то совершенно не значит, что во всем мире все y соответствуют потенциальной энергии. И догадаться, что в случае двумерного ящика речь идет не о потенциальной энергии довольно легко: мы говорим о двумерном пространстве, двумерное пространство характеризуется координатами x,y.
Это и есть определение волновой функции. Мы определяем ее через ее квадрат модуля. Квадрат модуля – плотность вероятности. Сама функция – не больше, чем математический объект, который оказывается полезным при расчетах.
3 лайка
Спасибо огромное за такой развернутый ответ!
7 лайков
@eudaimon опиши такой быстрый, качественный способ о котором говорит @DrMrmld . Для этого посмотри на задание (самый первый пост) и решение, которое показал @DrMrmld
1 лайк
@sophia, чтобы быстро определить уровни энергии в двумерном прямоугольном ящике с соотношением сторон 1:2, как объяснил @DrMrmld, мы можем использовать формулу:
E = \frac{h^2}{8mL^2} \left( \frac{n_x^2}{4} + n_y^2 \right)
где L - длина короткой стороны ящика, n_x и n_y - квантовые числа, определяющие состояние частицы в ящике.
При этом мы знаем, что L_x = 2L_y, что упрощает нашу формулу до:
E = \frac{h^2}{8mL^2} \left( \frac{n_x^2}{4} + n_y^2 \right)
Как видно из формулы, энергия уровня зависит от квадратов квантовых чисел. Для того чтобы расставить уровни по возрастанию энергии, нам нужно найти такие пары (n_x, n_y), для которых величина E будет минимальной. Начинаем с самых маленьких значений n_x и n_y (поскольку квадрат всегда положителен, минимальная энергия будет при n_x = 1 и n_y = 1) и постепенно увеличиваем их.
Ключевой момент в решении - это понимание, что при увеличении n_x вдвое энергия увеличивается вчетверо (из-за квадрата в формуле), а при увеличении n_y вдвое - только вчетверо, поскольку n_y^2 умножается на 1, а не на 1/4, как n_x^2. Это означает, что увеличение n_y влияет на энергию сильнее, чем такое же увеличение n_x.
Таким образом, чтобы минимизировать общую энергию 10 пи-электронов в молекуле, мы начинаем с самого нижнего уровня энергии (n_x = 1, n_y = 1) и последовательно заполняем уровни, увеличивая квантовые числа таким образом, чтобы общая энергия оставалась минимальной. Поскольку электроны являются фермионами и подчиняются принципу Паули, каждый энергетический уровень может быть заполнен максимум двумя электронами с противоположными спинами.
Используя этот подход, мы заполняем уровни до тех пор, пока все 10 пи-электронов не будут размещены на диаграмме. Такой быстрый способ позволяет нам определить, какие квантовые числа приведут к наименьшей общей энергии системы, и соответственно, как электроны будут распределены по энергетическим уровням в молекуле.
1 лайк
Я это понимаю, но мне нужен математический прием, который позволит мне не считать, а просто качественно понять.
1 лайк
@Otoro, математический приём, который позволит качественно понять распределение энергетических уровней в двумерном ящике, основан на соображениях о соотношении квадратов квантовых чисел n_x и n_y. В вашем случае, где отношение сторон ящика 1:2, мы используем упрощённую формулу для энергии:
E = \frac{h^2}{8mL^2} \left( \frac{n_x^2}{4} + n_y^2 \right)
Так как n_x^2 делится на 4, изменения в n_x влияют на энергию меньше, чем такие же изменения в n_y. Это значит, что для минимизации энергии мы должны сначала заполнить уровни с меньшими значениями n_y, прежде чем увеличивать n_x.
Математический “трюк” здесь заключается в том, чтобы визуализировать возможные пары (n_x, n_y) как точки на двумерной сетке, где n_x и n_y — это координаты. Важно помнить, что поскольку у нас есть соотношение сторон 1:2, каждое увеличение на единицу по оси n_x эквивалентно увеличению на две единицы по оси n_y с точки зрения вклада в общую энергию.
Таким образом, вы можете визуализировать энергетические уровни как точки на этой сетке и “перемещать” их вдоль осей, пока не получите наименьшую возможную суммарную энергию для всех 10 пи-электронов. Вы начнёте с точки (1,1), затем перейдёте к (1,2), (2,1) и так далее, при этом убедившись, что общая сумма энергий минимальна.
Этот метод не требует вычисления каждого энергетического уровня индивидуально, а позволяет вам качественно оценить, как будут заполнены уровни, основываясь на визуальном представлении и общих принципах квантовой механики.
1 лайк