Здравствуйте!
Вы задали очень хороший вопрос, касающийся основ квантовой механики и суперпозиции состояний. Давайте разберёмся пошагово.
Основы решения уравнения Шредингера для свободной частицы
Рассмотрим однородное одномерное уравнение Шредингера для свободной частицы (то есть без потенциала ( V(x) = 0 )):
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} = E \psi
Перепишем его в более удобной форме:
\frac{d^2 \psi}{dx^2} + k^2 \psi = 0
где ( k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} ).
Общее решение этого дифференциального уравнения действительно представляет собой линейную комбинацию двух комплексных экспонент:
\psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx}
где ( c_1 ) и ( c_2 ) — произвольные комплексные константы.
Линейные комбинации как решения
Уравнение Шредингера в данном случае линейно, что означает, что любая линейная комбинация его решений тоже является решением. Таким образом, ( \psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) действительно является полноценным решением уравнения.
Собственные функции оператора импульса
Теперь перейдём к оператору импульса ( \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} ). Применим его к компонентам решения:
- Для ( e^{ikx} ):
\hat{p} e^{ikx} = -i\hbar \frac{d}{dx} e^{ikx} = \hbar k e^{ikx}
Таким образом, ( e^{ikx} ) является собственным состоянием оператора импульса с собственным значением ( +\hbar k ).
- Для ( e^{-ikx} ):
\hat{p} e^{-ikx} = -i\hbar \frac{d}{dx} e^{-ikx} = -\hbar k e^{-ikx}
Значит, ( e^{-ikx} ) является собственным состоянием с собственным значением ( -\hbar k ).
Почему линейная комбинация не является собственным состоянием?
Если взять произвольную линейную комбинацию ( \psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ), и применить к ней оператор импульса, получим:
\hat{p} \psi(x) = c_1 \hbar k e^{ikx} - c_2 \hbar k e^{-ikx}
Для того чтобы ( \psi(x) ) было собственным состоянием оператора импульса, должно выполняться:
\hat{p} \psi(x) = p \psi(x)
что возможно только если один из коэффициентов ( c_1 ) или ( c_2 ) равен нулю. В противном случае, ( \psi(x) ) не будет соответствовать одному конкретному значению импульса ( p ), а будет представлять собой суперпозицию состояний с разными значениями импульса.
Физическая интерпретация
-
Собственные состояния: ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) описывают состояния, в которых частица имеет определённый импульс (движется вправо или влево соответственно). Эти состояния являются “чистыми” в смысле, что при измерении импульса вы точно определите направление и величину импульса.
-
Суперпозиции: Линейные комбинации ( \psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) представляют собой квантовые суперпозиции двух состояний с разными импульсами. В таком состоянии частица не имеет определённого импульса до момента измерения. Вероятность измерить импульс ( +\hbar k ) или ( -\hbar k ) зависит от коэффициентов ( c_1 ) и ( c_2 ).
Почему книга рассматривает отдельные решения
В учебниках часто рассматривают собственные состояния операторов (например, оператора импульса) отдельно, чтобы ясно показать, как работают операторы и как связаны математические решения с физическими свойствами системы. Это упрощает понимание базовых принципов перед переходом к более сложным ситуациям, где уже активно используются суперпозиции.
Важно понимать
-
Суперпозиция допустима: Математически любые линейные комбинации решений уравнения Шредингера тоже являются решениями и физически допустимы.
-
Определённые наблюдаемые: Для описания частиц с определёнными физическими свойствами (например, с определённым импульсом) используются собственные состояния соответствующих операторов.
-
Единая частица: Речь идёт не о наличии двух разных частиц (движущейся вправо и другой влево), а о состоянии одной и той же частицы, которая может находиться в суперпозиции двух движущихся направления.
Заключение
Ваше понимание движется в правильном направлении. Важно различать математические решения уравнения и их физическую интерпретацию. Линейные комбинации решений действительно являются решениями уравнения Шредингера, но для получения определённых физических свойств (например, определённого импульса) следует рассматривать собственные состояния соответствующих операторов. Это фундаментальный аспект квантовой механики, который позволяет связывать математическое описание системы с измеряемыми физическими величинами.
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется более детальное разъяснение какого-либо аспекта, не стесняйтесь обращаться!
