Волновые функции для частицы в бесконечном ящике

[elprimo (Rinat)]

Актив по химии оставляет желать лучшего, поэтому подниму его немного.

Вот есть у нас частица, вольная путешествовать по одномерному пространству безо всяких ограничений.

\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar}\psi=0

В книжке пишут, что у нас есть два решения ( \displaystyle c_1\cdot e^{ikx} и c_2\cdot e^{-ikx} ), что вроде как очевидно.

Но почему тогда любая их линейная комбинация не будет полноценным решением? Если применить оператор импульса, то можно заметить, что их линейная комбинация не будет собственной функцией оператора, а в книге просто применяют к каждой из них по отдельности, получают два противоположных по знаку ответа, и интерпретируют это как то, что \psi_1 описывает частицу, движущуюся вправо, а \psi_2 – влево. Вроде в других примерах до этого такого не было. Откуда взялась вторая частица…

[smile]

@eudaimon что ты думаешь над этим?

[eudaimon]

Приветствую тебя, ищущий мудрости! Твой вопрос затрагивает глубокие основы квантовой механики, и подобно тому, как Платон вёл своих учеников через диалог к пониманию, давай вместе исследуем эту задачу.

Начнём с того, что ты верно отметил: у нас действительно есть два базисных решения уравнения Шрёдингера для свободной частицы: \psi_1 = c_1e^{ikx} и \psi_2 = c_2e^{-ikx} .

Позволь мне задать тебе несколько наводящих вопросов:

1. Когда мы говорим о операторе импульса \hat{p} = -i\hbar\frac{d}{dx}, давай применим его к линейной комбинации:
   $$\psi = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$$
   Что получится? Попробуй это сделать.

2. Вспомни, что означает собственная функция оператора? Какому условию она должна удовлетворять?

3. В классической механике, может ли частица одновременно двигаться и вправо, и влево? А что происходит в квантовой механике с суперпозицией состояний?

Что касается “второй частицы” - здесь кроется очень важное заблуждение. На самом деле речь идёт не о двух частицах, а об одной и той же частице, которая может находиться в различных состояниях движения.

Подумай над этими вопросами, и мы продолжим наше исследование. Как говорил Гераклит: “Природа любит прятаться”, но путём последовательных рассуждений мы можем раскрыть её тайны.

А пока ты размышляешь над этими вопросами, позволь мне спросить: что именно кажется тебе противоречивым в том, что линейная комбинация этих решений не является собственной функцией оператора импульса?

[Alibi]

@elprimo

можно заметить, что их линейная комбинация не будет собственной функцией оператора

\begin{gathered} -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\left(c_1e^{ikx}+c_2e^{-ikx}\right)=-i\hbar\frac{\partial c_1e^{ikx}}{\partial x}-i\hbar\frac{\partial c_2e^{-ikx}}{\partial x}=\hat{p}(c_1e^{ikx})+\hat{p}(c_2e^{ikx}) \\ \hat{p}(c_1e^{ikx})=-i\hbar\frac{\partial c_1e^{ikx}}{\partial x}=-i^2\hbar ke^{ikx}=\hbar k\cdot c_1e^{ikx} \\ \hat{p}(c_2e^{-ikx})=-i\hbar\frac{\partial c_2e^{-ikx}}{\partial x}=i^2\hbar ke^{-ikx}=-\hbar k\cdot c_1e^{-ikx} \\ \hat{p}(c_1e^{ikx}+c_2e^{-ikx})=\hbar k\cdot c_1e^{ikx}-\hbar k\cdot c_1e^{-ikx} \end{gathered}

Как видишь @eudaimon, собственное значение не получилось, ведь знаки разные, а у нашей функции оба знака перед членами положительные

[eudaimon]

Приветствую, Alibi! Твои математические выкладки абсолютно верны. Ты прекрасно продемонстрировал, почему линейная комбинация не является собственной функцией оператора импульса.

Давай углубимся в физический смысл этого результата. Как истинный философ, я предлагаю задуматься над следующим:

1. Что физически означает тот факт, что мы получили разные знаки при действии оператора импульса?
   $$\hat{p}(c_1e^{ikx}) = +\hbar k\cdot c_1e^{ikx}$$
   $$\hat{p}(c_2e^{-ikx}) = -\hbar k\cdot c_2e^{-ikx}$$

2. Вспомни принцип суперпозиции в квантовой механике. Если у нас есть два состояния с определённым импульсом (+\hbar k и -\hbar k), то что физически представляет собой их суперпозиция?

3. Можем ли мы одновременно точно знать положение частицы и её импульс? Как это связано с тем, что линейная комбинация не является собственной функцией оператора импульса?

Подсказка: подумай о том, как это соотносится с соотношением неопределённостей Гейзенберга. Что происходит с неопределённостью импульса, когда мы берём суперпозицию состояний с противоположными значениями импульса?

Как говорил Демокрит: “В действительности существуют только атомы и пустота”. В нашем случае существует только одна частица, но её квантовое состояние может быть более сложным, чем просто движение влево или вправо. Что ты думаешь об этом?

[Alibi]

1. Что означает физически, это же просто функции. Понятия не имею
2. Кажется ни я, ни Ринат не шарим в суперпозициях. Объясни.
3. Нет, по по уравнению неопределенности Гейзенберга. Объясни суперпозицию, строго. Чтобы использовать math mode в отдельной строке, надо ставить знаки доллара в отдельные абзацы

$$
eudaimon lox
$$

[eudaimon]

Ах, я вижу, что нам нужно начать с более фундаментальных понятий! Подобно тому, как Пифагор начинал обучение с базовых истин, давайте разберем всё по порядку.

Начнем с суперпозиции состояний - это один из краеугольных принципов квантовой механики.

\psi = c_1e^{ikx} + c_2e^{-ikx}

Что это означает физически?

1. Каждое из состояний e^{ikx} и e^{-ikx} описывает частицу с ОПРЕДЕЛЁННЫМ импульсом:

   • e^{ikx} описывает частицу с импульсом p = +\hbar k
   • e^{-ikx} описывает частицу с импульсом p = -\hbar k

2. Когда мы складываем эти состояния (суперпозиция), это НЕ означает, что у нас две частицы! Это означает, что ОДНА частица находится одновременно в обоих состояниях с определенными вероятностями:

   • Вероятность найти частицу с импульсом +\hbar k равна |c_1|^2
   • Вероятность найти частицу с импульсом -\hbar k равна |c_2|^2

3. При этом должно выполняться:

|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1

Это условие нормировки - полная вероятность должна равняться единице.

Теперь, почему это важно в контексте твоего вопроса:

• Когда мы применяем оператор импульса к отдельным состояниям, мы получаем определённые значения
• Когда применяем к суперпозиции - получаем смесь состояний с разными импульсами
• Это и означает, что суперпозиция НЕ является собственной функцией оператора импульса

Это как если бы в классической механике мяч мог одновременно лететь и вправо, и влево, что невозможно. Но в квантовой механике это не только возможно, но и является фундаментальным свойством!

Хочешь, разберем конкретный пример с числами, чтобы было нагляднее?

[elprimo (Rinat)]

@eudaimon, пожалуйста, убери все вставки про древнюю Грецию/другие нерелвантные вещи из своего ответа, и перейди сразу к делу.

Так вот. Хм, да, я знаком с суперпозицией, исходя из твоего ответа. Но я не совсем понимаю, почему именно в этом случае все так работает. Очевидно, что линейная комбинация двух волновых функций тоже будет решением уравнения. При решении уравнения я ведь мог сразу его и подставить. Почему мы решили взять именно эти два решения, как базисные? Как это можно связать с записью решения через тригонометрические формулы?

[eudaimon]

Отлично, перейдём сразу к сути.

Давай разберём, почему эти решения фундаментальны:

1. Связь с тригонометрией. Используя формулу Эйлера:

e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx)

e^{-ikx} = \cos(kx) - i\sin(kx)

Тогда любую линейную комбинацию можно переписать:

\psi = c_1e^{ikx} + c_2e^{-ikx} = (c_1 + c_2)\cos(kx) + i(c_1 - c_2)\sin(kx)

2. Почему эти решения базисные:

• Они соответствуют состояниям с определённым импульсом
• Они образуют полный базис для описания любого состояния свободной частицы
• Любое другое решение можно представить как их линейную комбинацию

3. Математически это связано с тем, что:

• Уравнение второго порядка имеет два независимых решения
• e^{ikx} и e^{-ikx} линейно независимы
• Они являются собственными функциями оператора импульса

Вопрос к тебе: если взять \psi = A\cos(kx) + B\sin(kx), будет ли это собственной функцией оператора импульса? Как это решение связано с экспоненциальной формой записи?

[elprimo (Rinat)]

Вот именно. Я решал это уравнение кучу раз, но в первый раз вижу, что если одно из решений будет айгенфункцией какого-то оператора, то общее решение таковой может и не быть.

@eudaimon

удет ли это собственной функцией оператора импульса?

вроде нет

@eudaimon

Как это решение связано с экспоненциальной формой записи?

ну типо

\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

[eudaimon]

Верно! Теперь мы подошли к ключевому моменту.

Когда мы решаем дифференциальное уравнение, мы обычно просто ищем любые линейно независимые решения. Но в квантовой механике появляется дополнительное требование: нас интересуют состояния с определённым физическим смыслом.

Давай сравним:

1. Решение через косинусы и синусы:

\psi = A\cos(kx) + B\sin(kx)

• Это математически корректное решение
• Но при действии оператора импульса не даёт собственного значения
• Физически это суперпозиция состояний с разными импульсами

2. Экспоненциальные решения:

\psi_1 = c_1e^{ikx}, \quad \psi_2 = c_2e^{-ikx}

• Каждое решение соответствует определённому значению импульса
• Являются собственными функциями оператора импульса
• Физически описывают движение в определённом направлении

И как ты показал через формулы для синуса и косинуса, эти представления эквивалентны математически, но физический смысл проявляется яснее в экспоненциальной форме.

Это демонстрирует важный принцип квантовой механики: хотя математически возможны разные представления решения, некоторые из них более удобны для физической интерпретации.

[elprimo (Rinat)]

ладно братан, спасибо. Я еще хотел среднее положение частицы в этом ящике найти, но че то забыл как improper integrals считать, давай с этим заодно поможешь.

\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\psi^* \psi\, dx

А, я пока писал, вспомнил что

\psi^* \psi = (\cos kx + i \sin kx)(\cos kx - i \sin kx) = 1

Когда решал, вместо квадрата просто волновую функцию подставил, и по частям решал какой-то бессмысленный интеграл, лол. Ну может кому-то полезно будет

[eudaimon]

А вот тут важный момент!

Действительно, для одной экспоненты e^{ikx} получаем:

\psi^* \psi = e^{-ikx}e^{ikx} = 1

Но для общего решения (суперпозиции):

\psi = c_1e^{ikx} + c_2e^{-ikx}

Комплексно сопряженная функция будет:

\psi^* = c_1^*e^{-ikx} + c_2^*e^{ikx}

И их произведение:

\psi^* \psi = (c_1^*e^{-ikx} + c_2^*e^{ikx})(c_1e^{ikx} + c_2e^{-ikx})

= |c_1|^2 + |c_2|^2 + c_1^*c_2e^{2ikx} + c_1c_2^*e^{-2ikx}

Теперь интеграл для среднего положения становится интереснее! Хочешь разберем его?

В частности, какие члены в этом произведении дадут ненулевой вклад в интеграл для \langle x \rangle?

[elprimo (Rinat)]

ну давай, давай

[eudaimon]

Отлично! Давай разберём интеграл для среднего положения:

\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x(|c_1|^2 + |c_2|^2 + c_1^*c_2e^{2ikx} + c_1c_2^*e^{-2ikx})dx

Разобьём на части:

1. Первые два члена:

(|c_1|^2 + |c_2|^2)\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx

Этот интеграл расходится как нечётная функция.

2. Интерфереционные члены:

\int_{-\infty}^{\infty}x(c_1^*c_2e^{2ikx} + c_1c_2^*e^{-2ikx})dx

Можно решить по частям, положив:

u = x, \quad dv = e^{\pm 2ikx}dx

du = dx, \quad v = \pm\frac{1}{2ik}e^{\pm 2ikx}

Получим:

\left.x\cdot\frac{e^{\pm 2ikx}}{{\pm 2ik}}\right|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\pm 2ikx}}{{\pm 2ik}}dx

Что происходит с этими членами? И что это говорит нам о среднем положении свободной частицы?

[elprimo (Rinat)]

@elprimo

А, я пока писал, вспомнил что

ψ∗ψ=(cos⁡kx+isin⁡kx)(cos⁡kx−isin⁡kx)=1 \psi^* \psi = (\cos kx + i \sin kx)(\cos kx - i \sin kx) = 1 ψ∗ψ=(coskx+isinkx)(coskx−isinkx)=1

а, ну даже если бы так было, там бы все равно расходящийся интеграл от икса остался.

@eudaimon

x⋅±2ike±2ikx​∣∣​−∞∞​−∫−∞∞​±2ike±2ikx​dx

ну,

\left. x\cdot \frac{e^{\pm2ikx}}{\pm2ik} \right |_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{-4k}\cdot \left. e^{\pm 2ikx} \right |_{-\infty}^{\infty}

я не особо понимаю в improper integrals, как не запутаться в знаках

[elprimo (Rinat)]

@eudaimon отвечай

[eudaimon]

Давай разберемся с несобственными интегралами:

1. Первый член:

\left. x\cdot \frac{e^{\pm2ikx}}{\pm2ik} \right |_{-\infty}^{\infty}

Это выражение колеблется при x \to \pm\infty с возрастающей амплитудой (из-за множителя x), поэтому предел не существует.

2. Второй член:

\frac{1}{-4k}\cdot \left. e^{\pm 2ikx} \right |_{-\infty}^{\infty}

Это чистые колебания e^{\pm 2ikx} при x \to \pm\infty, поэтому предел тоже не существует.

Важный физический вывод: среднее положение для плоской волны не определено! Это имеет смысл, так как плоская волна “размазана” по всему пространству с одинаковой вероятностью нахождения частицы.

Чтобы получить физически осмысленный результат, нужно работать с волновыми пакетами - локализованными состояниями, например:

\psi(x) = Ae^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}e^{ikx}

Хочешь разберем, почему для волнового пакета среднее положение будет определено?

[elprimo (Rinat)]

@eudaimon

Начнём с того, что ты верно отметил: у нас действительно есть два базисных решения уравнения Шрёдингера для свободной частицы: ψ1=c1eikx \psi_1 = c_1e^{ikx} ψ1​=c1​eikx и ψ2=c2e−ikx \psi_2 = c_2e^{-ikx} ψ2​=c2​e−ikx.

Хм. А можно как-то через условие ортогональности для разных айгенфункций эрмитового оператора понять, какие решения будут образовывать базис?

[eudaimon]

Отличный вопрос! Действительно, ортогональность собственных функций эрмитового оператора - ключевой момент в выборе базиса.