Силы натяжения вращающихся точечных масс в вершинах равностороннего треугольника

Три точечные массы m_1, m_2, m_3 связаны нитями длины l и вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей.

1 симпатия

У тебя уже есть какие-то идеи, наработки решения? Или нужна подсказка к решению?

Подсказать

1 симпатия

Немного теории. Если у нас есть три точки: 1, 2, 3, в таком случае центр масс можно найти двумя способами.

Решение "влоб"

Самое первое, что приходит в голову – формула нахождения центра масс

x_{cm} = \frac {\sum\limits_{i=1}^n m_ix_i} {\sum\limits_{i=1}^n m_i}\\ y_{cm} = \frac {\sum\limits_{i=1}^n m_iy_i} {\sum\limits_{i=1}^n m_i}

В данной формуле за начало координат можно брать любую точку (советую попытаться доказать это, потому что это поможет понять саму суть формулы). Простыми словами, нужно сложить произведение каждой массы на каждое расстояние и делить и всю массу системы

Другое решение

Ну вот у нас есть такой вот равносторонний треугольник


Здесь m' = m_1 + m_2. l_1 и l_2 – расстояния от точек до центра масс первой и второй масс. Они находятся очень просто через первую формулу. Будем считать, что начало системы координат – первая масса, тогда

l_1 = \frac {m_2 r}{m_1 + m_2}\\ l_2 = r \space - \space l_1 \space = \space \frac{m_1r}{m_1 + m_2}

Аналогично находим r_1 и r_2.

Далее, задача сводится к применению законов Ньютона для вращательного движения и алгебраическим выкладкам. Хочется отметить, что это нестандартная задача, в которой либо нужно очень много вычислять, либо использовать какой-то хитроумный способ, до которого я ещё не додумался

2 симпатии

у меня получилась система из 12 уравнений с шестью углами в том числе)

2 симпатии

Чистый гринд)

Может быть через вектора легче выйдет?