Ну ты бы поподробнее обьяснил, что-ли
Туф, @sophia , ответь пожалуйста
Давайте разберёмся подробнее.
Уравнение и его решения
Для свободной частицы в одномерном пространстве временно-независимое уравнение Шрёдингера имеет вид:
\frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2 \psi = 0,
где ( k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} ). Типичными решениями этого дифференциального уравнения являются экспоненциальные функции:
\psi_1(x) = c_1 e^{ikx}, \quad \psi_2(x) = c_2 e^{-ikx},
где ( c_1 ) и ( c_2 ) — произвольные константы.
Линейные комбинации решений
Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, как в нашем случае, является любой линейной комбинацией двух фундаментальных (базисных) решений. То есть:
\psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx},
где ( A ) и ( B ) — новые произвольные константы.
Таким образом, любая линейная комбинация ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) тоже является решением уравнения. Эти решения описывают суперпозицию состояний, движущихся вправо и влево.
Эволюция с оператором импульса
Оператор импульса в квантовой механике определяется как:
\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}.
Применяя его к базисным функциям, получаем:
\hat{p} e^{ikx} = \hbar k e^{ikx}, \quad \hat{p} e^{-ikx} = -\hbar k e^{-ikx}.
Таким образом, ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) являются собственными функциями оператора импульса с собственными значениями ( \hbar k ) и ( -\hbar k ) соответственно. Однако, любая их линейная комбинация:
\psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx},
не является собственной функцией оператора импульса, поскольку при применении оператора импульса к такой суперпозиции вы получаете:
\hat{p} \psi(x) = \hbar k A e^{ikx} - \hbar k B e^{-ikx},
что не эквивалентно просто умножению исходной функции на какое-то число, если ( A ) и ( B ) оба ненулевые.
Интерпретация физического смысла
В книге разделяют решения ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ), интерпретируя их как состояния частицы, движущейся вправо и влево соответственно. Это связано с тем, что эти функции имеют определённый импульс и, следовательно, определённое направление движения.
Когда мы говорим о суперпозиции этих состояний, мы имеем дело с состоянием, которое не имеет определённого импульса и не движется с определённой скоростью. Такое состояние можно представить как стационарное, не демонстрирующее предпочтения в направлении движения, или как волну, распространяющуюся в обе стороны одновременно.
Откуда взялась “вторая частица”
Вероятно, возникло недоразумение из-за интерпретации суперпозиции как наличия двух “частиц”. На самом деле, это всё ещё единственная частица, чьё состояние описывается комбинацией движений в разные стороны. В квантовой механике суперпозиция состояний одного объекта не означает существование нескольких объектов. Это просто отражение того, что частица может находиться в состоянии, характеризующемся одновременно разными свойствами (например, движущимися в разные стороны).
Почему в других примерах это не так заметно
В других случаях, например, при решении стационарных состояний в потенциальных ямах или гармонических осцилляторах, часто используются решения, которые уже являются собственными функциями соответствующих операторов (например, энергиетического). Поэтому суперпозиции таких состояний могут иметь менее очевидную физическую интерпретацию в контексте направления движения, и необходимость разбирать движение вправо и влево явно может не возникать.
Вывод
-
Линейные комбинации ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) являются полноценными решениями уравнения Шрёдингера для свободной частицы.
-
Такие комбинации не являются собственными функциями оператора импульса, поскольку они не имеют определённого импульса.
-
Физическая интерпретация таких решений заключается в суперпозиции состояний движения в разные стороны для одной и той же частицы, а не в наличии двух отдельных частиц.
Надеюсь, это проясняет ситуацию!
@sophia ну вот, я спрашиваю, можно ли через условие ортогональности айгенфункций эрмитового оператора понять, какие решения будут базисными и соответственно будут айгенфункциями оператора импульса
Да, вы можете использовать условие ортогональности собственных функций эрмитового оператора для определения базисных решений и, следовательно, собственных функций оператора импульса. Давайте рассмотрим это подробнее.
Эрмитовы операторы и их собственные функции
Эрмитовы (самосопряжённые) операторы обладают рядом важных свойств в квантовой механике:
- Собственные значения: Они всегда вещественны, что необходимо для физических наблюдаемых величин.
- Ортогональность собственных функций: Разные собственные функции соответствуют разным собственным значениям и ортогональны друг другу с точки зрения скалярного произведения.
- Полнота: Собственные функции образуют полное базисное пространство, что позволяет разложить любое состояние системы как линейную комбинацию этих собственных функций.
Оператор импульса
Оператор импульса в одномерном случае определяется как:
\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}
Этот оператор является эрмитовым на соответствующем пространстве функций с подходящими граничными условиями. Его собственные функции — это комплексные экспоненты:
\psi_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx}
с собственными значениями ( p = \hbar k ).
Ортогональность собственных функций оператора импульса
Собственные функции оператора импульса удовлетворяют ортогональности в смысле дельта-функции Дирака:
\langle \psi_{k'} | \psi_k \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k'}^*(x) \psi_k(x) \, dx = \delta(k - k')
Это означает, что они ортогональны друг другу для различных значений ( k ).
Бесконечный ящик и собственные функции импульса
Рассмотрим частицы в одномерном бесконечном потенциальном ящике (например, на отрезке ( [0, L] ) с бесконечным потенциалом за пределами). В таком случае, волновые функции должны удовлетворять граничным условиям ( \psi(0) = \psi(L) = 0 ).
Собственные функции энергии
Собственные функции энергии для бесконечного ящика имеют вид:
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots
Они ортогональны и являются базисом для пространства состояний частицы в ящике.
Оператор импульса в ограниченном пространстве
Однако оператор импульса на конечном отрезке ( [0, L] ) требует осторожности. В отличие от случая свободной частицы на всей прямой, в ограниченном пространстве собственные функции оператора импульса не являются простыми экспонентами ( e^{ikx} ). Причина в том, что на конечном отрезке оператор импульса не обладает принадлежащими к пространству собственными функциями, если не ввести дополнительные условия. Более того, для систем с граничными условиями оператор импульса может перестать быть эрмитовым или быть частично эрмитовым, что усложняет его спектр собственных значений и функций.
Базис через собственные функции энергии
Вместо использования собственных функций оператора импульса, обычно используется базис собственных функций гамильтониана (энергетического оператора). Эти функции ортогональны и полно описывают пространство состояний системы. Любую волновую функцию в бесконечном ящике можно разложить в ряд по базису собственных функций энергии:
\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n(x)
где коэффициенты ( c_n ) определяются условиями нормировки и начальным состоянием системы.
Связь между базисами операторов
Если бы оператор импульса был совместим с гамильтонианом (то есть они коммутировали ([ \hat{H}, \hat{p} ] = 0)), их собственные функции могли бы быть выбраны одновременно. Однако в случае бесконечного ящика это не происходит, и базисы для операторов импульса и энергии различны.
Итог
-
Ортогональность собственных функций: Да, собственные функции эрмитового оператора ортогональны и могут быть использованы для построения базиса.
-
Собственные функции оператора импульса: В случае свободной частицы на всей прямой собственные функции оператора импульса — это плоские волны ( e^{ikx} ), которые ортогональны в смысле дельта-функции. В бесконечном ящике ситуация более сложна, и собственные функции импульса не совпадают с базисными функциями гамильтониана.
-
Выбор базиса: В ограниченных системах, таких как бесконечный ящик, обычно используют собственные функции гамильтониана как базис, поскольку они удовлетворяют граничным условиям и образуют ортогональный набор.
Таким образом, использование ортогональности собственных функций эрмитового оператора действительно помогает определить базисные решения. Однако в конкретном случае бесконечного ящика базис собственных функций оператора импульса не является естественным выбором из-за граничных условий. Вместо этого используется базис собственных функций гамильтониана, который гарантирует ортогональность и полноту для описания системы.
Это еще почему
Ооо, можешь про это подробнее рассказать. Я пока только про связь неопределенности с коммутатором знаю
Конечно, давайте углубимся в эту тему и рассмотрим, почему в случае частицы в одномерном бесконечном потенциальном ящике линейные комбинации собственных функций оператора импульса не являются полноценными решениями, и как это связано с коммутаторами операторов и принципом неопределённости.
1. Операторы в квантовой механике
В квантовой механике физические величины представлены операторами, которые действуют на волновые функции системы. Основные свойства операторов включают:
- Эрмитовость (самосопряжённость): Гарантирует, что собственные значения оператора (физические наблюдаемые) вещественны.
- Коммутаторы: Определяют, как операторы взаимодействуют друг с другом. Важны для определения взаимосовместимости операторов и принципов неопределённости.
2. Принцип неопределённости и коммутаторы
Принцип неопределённости Гейзенберга устанавливает, что некоторые пары сопряжённых величин (например, позиция и импульс) не могут быть одновременно точно измерены. Квантово-механически это выражается через коммутатор операторов:
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar
Этот коммутатор показывает, что операторы позиции ((\hat{x})) и импульса ((\hat{p})) не коммутируют. Согласно неопределённости, это приводит к неравенству:
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
Таким образом, если позиция точно известна (малое (\Delta x)), неопределённость импульса ((\Delta p)) велика, и наоборот.
3. Бесконечный потенциальный ящик и его ограничения
3.1. Граничные условия
Рассмотрим частица, заключённую в одномерный потенциальный ящик ( [0, L] ) с бесконечным потенциалом за пределами. Это налагает жесткие граничные условия на волновую функцию:
\psi(0) = \psi(L) = 0
3.2. Собственные функции и собственные значения
Энергетические собственные функции для частицы в бесконечном ящике имеют вид:
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots
Собственные значения энергии:
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}
Эти функции удовлетворяют граничным условиям и образуют ортонормированный базис для волновых функций в ящике.
4. Оператор импульса в бесконечном ящике
4.1. Действие оператора импульса
Оператор импульса в одномерном случае определяется как:
\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}
4.2. Собственные функции оператора импульса
Для свободной частицы на всей прямой собственные функции оператора импульса — это комплексные экспоненты:
\psi_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx}
с собственными значениями ( p = \hbar k ). Однако в бесконечном ящике ситуация иная.
4.3. Несовместимость с граничными условиями
Функции вида ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) не удовлетворяют граничным условиям ( \psi(0) = \psi(L) = 0 ), за исключением тривиального случая. Это значит, что они не являются допустимыми собственными функциями оператора импульса в рамках бесконечного ящика.
Таким образом, оператор импульса не имеет полноценного набора собственных функций, соответствующих физическим условиям задачи, что осложняет его использование в качестве базиса для разложения волновых функций в ящике.
5. Линейные комбинации и их свойства
5.1. Линейные комбинации собственных функций импульса
В свободном пространстве любые линейные комбинации ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) также являются решениями уравнения Шрёдингера. Однако, в бесконечном ящике такие комбинации не будут удовлетворять граничным условиям, как уже было отмечено.
5.2. Отсутствие полноценности
Поскольку линейные комбинации не удовлетворяют граничным условиям, они не являются допустимыми решениями задачи с бесконечным ящиком. Это означает, что набор собственных функций оператора импульса не образует полного базиса в пространстве допустимых волновых функций.
6. Использование базиса собственных функций гамильтониана
Вместо использования собственных функций оператора импульса, в бесконечном ящике как базис обычно выбирают собственные функции гамильтониана (энергетический базис), которые удовлетворяют граничным условиям и формируют полный ортонормированный набор.
То есть, любую допустимую волновую функцию ( \psi(x) ) можно разложить в ряд:
\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n(x)
где коэффициенты ( c_n ) определяются условиями нормировки и начальными условиями задачи.
7. Связь с принципом неопределённости
Поскольку частица ограничена в пространстве (в ящике), её позиция относительно точно известна (( \Delta x ) маленька). Согласно принципу неопределённости, это приводит к большой неопределённости в импульсе (( \Delta p ) большая). В энергетических собственных состояниях импульс не определён точно; вместо этого, модель описывает состояние частицы как стационарное, где энергия и форма волновой функции хорошо определены, но импульс — нет.
Это отражается в том, что энергетические собственные функции являются суперпозициями различных импульсов (движущихся как вправо, так и влево), что согласуется с высокой неопределённостью импульса.
8. Итог
-
Эрмитовы операторы и базисы: В бесконечном ящике оператор импульса не предоставляет полного набора собственных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Поэтому его собственные функции не подходят для построения базиса.
-
Базис через энергетические собственные функции: Для описания системы используется базис собственных функций гамильтониана, которые удовлетворяют граничным условиям и обеспечивают полный и ортонормированный набор.
-
Принцип неопределённости: Ограниченность позиции частицы в ящике приводит к высокой неопределённости импульса, что проявляется в том, что энергетические собственные состояния не являются собственными состояниями оператора импульса.
-
Линейные комбинации и их ограничения: Линейные комбинации собственных функций оператора импульса не удовлетворяют граничным условиям и, следовательно, не являются допустимыми решениями задачи в бесконечном ящике.
Таким образом, в контексте бесконечного потенциального ящика выбор базиса определяется физическими условиями задачи и свойствами операторов. Энергетические собственные функции предоставляют наиболее подходящий и удобный базис для анализа и описания состояния системы.
1 лайк
Во-первых, мой изначальный вопрос был как-раз таки про одномерный ящик без стенок. Там тоже у импульса не будет собственных функций? Разве вообще наличие собственных функций не есть основное требование к операторам? Это буквально из определения следует
Я не могу понять как это связано😭
Извините за недоразумение в предыдущем ответе. Давайте уточним ваш вопрос и рассмотрим его в контексте свободной частицы в одномерном пространстве без ограничений (то есть без стенок ящика).
1. Свободная частица в одномерном пространстве
1.1. Уравнение Шрёдингера
Для свободной частицы в одномерном пространстве уравнение Шрёдингера имеет вид:
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} = E \psi
После деления на ( -\frac{\hbar^2}{2m} ) и введения волнового числа ( k ) (где ( k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} )), уравнение принимает вид:
\frac{d^2 \psi}{dx^2} + k^2 \psi = 0
1.2. Общее решение
Общее решение данного дифференциального уравнения:
\psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx}
где ( c_1 ) и ( c_2 ) — произвольные комплексные константы, определяемые начальными условиями.
2. Собственные функции оператора импульса
2.1. Оператор импульса
В квантовой механике оператор импульса определяется как:
\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}
2.2. Собственные функции и собственные значения
Функции вида ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) являются собственными функциями оператора импульса:
\hat{p} e^{ikx} = \hbar k e^{ikx}
\hat{p} e^{-ikx} = -\hbar k e^{-ikx}
Таким образом, ( e^{ikx} ) соответствует импульсу ( \hbar k ) (движение вправо), а ( e^{-ikx} ) соответствует импульсу ( -\hbar k ) (движение влево).
3. Линейные комбинации собственных функций
3.1. Общие решения и суперпозиции
Любая линейная комбинация собственных функций оператора импульса, то есть:
\psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx}
также является допустимым решением уравнения Шрёдингера для свободной частицы. Эти суперпозиции описывают состояния, в которых частица не имеет определённого импульса, а представляет собой квантовую суперпозицию состояний с импульсами ( \hbar k ) и ( -\hbar k ).
3.2. Собственные состояния и суперпозиции
-
Собственные состояния: ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) — это собственные состояния оператора импульса с определёнными значениями импульса.
-
Суперпозиции: Линейные комбинации этих функций не являются собственными состояниями оператора импульса, поскольку они не удовлетворяют уравнению ( \hat{p} \psi = p \psi ) для какого-либо фиксированного ( p ). То есть, в суперпозиции импульсы ( \hbar k ) и ( -\hbar k ) “смешиваются”, и состояние не имеет определённого импульса.
4. Полнота базиса собственных функций
4.1. Гильбертово пространство
В квантовой механике допустимые волновые функции принадлежности к гильбертово пространству ( L^2(\mathbb{R}) ). В этом пространстве собственные функции оператора импульса ( e^{ikx} ) (в смысле обобщённых собственных функций) образуют полный базис. Это означает, что любые волновые функции могут быть представлены как интеграл (или сумма в дискретных случаях) над собственными функциями оператора импульса.
4.2. Обобщённые собственные функции
Хотя ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) не принадлежат ( L^2(\mathbb{R}) ) (они расходятся при ( |x| \to \infty )), они служат обобщёнными собственными функциями в рамках дельта-распределений. Это позволяет использовать их для разложения и анализа произвольных волновых функций через интегральное преобразование Фурье.
5. Интерпретация физических состояний
5.1. Собственные состояния импульса
Состояния ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) представляют собой состояния с определённым импульсом, движущиеся вправо и влево соответственно. Эти состояния являются чистыми состояниями импульса.
5.2. Суперпозиции и неопределённости
Суперпозиции ( c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) описывают состояния с неопределённым импульсом. Они имеют определённую форму волновой функции в пространстве, но импульс в таких состояниях не определён точно, что согласуется с принципом неопределённости Гейзенберга.
6. Ответ на ваш изначальный вопрос
Почему же линейные комбинации ( c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) являются допустимыми решениями, несмотря на то, что они не являются собственными функциями оператора импульса?
-
Допустимые решения: Любая линейная комбинация ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) удовлетворяет уравнению Шрёдингера для свободной частицы и, следовательно, является допустимым решением.
-
Собственные функции оператора: Только ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) являются собственными функциями оператора импульса с определёнными значениями импульса. Линейные комбинации этих функций не являются собственными состояниями импульса, но всё равно являются физически допустимыми состояниями.
-
Физическая интерпретация: Когда вы выбираете определенные коэффициенты ( c_1 ) и ( c_2 ), вы формируете состояние, которое является суперпозицией частиц, движущихся в противоположных направлениях. Такое состояние не имеет определённого импульса, но оно всё ещё описывает физически допустимое состояние системы.
7. Заключение
-
Наличие собственных функций: Оператор импульса в случае свободной частицы действительно имеет собственные функции (обобщённые) — экспоненциальные функции ( e^{ikx} ).
-
Линейные комбинации: Линейные комбинации собственных функций также являются допустимыми решениями, хотя они не являются собственными состояниями оператора импульса.
-
Базис и полнота: Собственные функции оператора импульса образуют полный базис (в смысле обобщённых функций) для гильбертового пространства допустимых волновых функций, что позволяет представлять любые состояния в виде их линейных комбинаций.
Таким образом, любая линейная комбинация ( c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) является полноценным решением уравнения Шрёдингера для свободной частицы, хотя она и не обладает определённым импульсом. Это соответствует фундаментальному принципу квантовой механики о том, что физические состояния могут быть представлениями суперпозиций базовых собственных состояний.
Ладно, проблема видимо в отсутствии знаний линала.
Ну насчет волновых функций, вот у нас есть два решения \displaystyle \psi_1=e^{ikx}; \, \psi_2=e^{-ikx} . Я могу через свойство ортогональности эрмитового оператора сказать, что если интеграл от их сопряженного произведения будет равен 0, тогда это разные (linearly independent) айгенфункции, и тогда что они образуют базис для пространства всех волновых функций
Понимаю, вы стремитесь глубже разобраться в свойствах волновых функций ( \psi_1 = e^{ikx} ) и ( \psi_2 = e^{-ikx} ), а также в их роли как базиса в пространстве квантовых состояний. Давайте рассмотрим это подробнее.
1. Линейная независимость и ортогональность
1.1. Линейная независимость
Функции ( \psi_1 = e^{ikx} ) и ( \psi_2 = e^{-ikx} ) являются линейно независимыми. Это можно показать, предположив, что существует такое сочетание их линейной комбинации, которое равно нулю:
[
c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} = 0
]
для всех ( x ). Это возможно только если ( c_1 = c_2 = 0 ), что подтверждает линейную независимость.
1.2. Ортогональность
В случае функций с дискретным спектром, ортогональность обычно определяется через интеграл их произведений по всему пространству. Однако для вещественных функций ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) в пространстве с непрерывным спектром (например, для свободной частицы) ортогональность выражается через дельта-дельта распределение:
[
\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_1^*(x) \psi_2(x) , dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx} e^{-ikx} , dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i2kx} , dx = 0
]
для ( k \neq 0 ), предполагая, что ( k ) различны. Таким образом, ( \psi_1 ) и ( \psi_2 ) ортогональны друг другу в смысле обобщённой ортогональности.
2. Базисное пространство волновых функций
2.1. Полнота базиса
Функции ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) (а также любые их линейные комбинации с различными значениями ( k )) образуют полный базис в пространстве квадратно-суммируемых функций ( L^2(\mathbb{R}) ) через разложение Фурье. Это означает, что любая допустимая волновая функция ( \psi(x) ) может быть представлена как интеграл (или сумма в дискретных случаях) по всем возможным значениям ( k ):
[
\psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{\psi}(k) e^{ikx} , dk
]
где ( \tilde{\psi}(k) ) — преобразование Фурье волновой функции ( \psi(x) ).
2.2. Дирихлево пространство и собственные функции
Стоит отметить, что ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) не принадлежат ( L^2(\mathbb{R}) ), так как они не являются квадратно-интегрируемыми (их модули остаются постоянными при ( |x| \to \infty )). Однако в формальном смысле они служат обобщёнными собственными функциями оператора импульса и позволяют строить полное решение через суперпозиции.
3. Практическое применение: Суперпозиции состояний
3.1. Волновые пакеты
Линейные комбинации ( c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) представляют волновые пакеты, которые имеют определённое распределение импульсов и локализованы в пространстве. Такие состояния являются суперпозициями состояний с импульсами ( \hbar k ) и ( -\hbar k ), что позволяет описывать частицу, имеющую неопределённый импульс, но локализованную в некоторой области пространства.
3.2. Физическая интерпретация
- Собственные состояния импульса: ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) соответствуют частицам с определённым импульсом ( \hbar k ) и ( -\hbar k ) соответственно.
- Суперпозиции: Состояния вида ( c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} ) не имеют определённого импульса, но имеют определённую “форму” в пространстве. Такие состояния важны для описания реальных физических систем, где частица может двигаться в разных направлениях с определённой вероятностью.
4. Итоговый вывод
Ваше утверждение верно в том смысле, что функции ( e^{ikx} ) и ( e^{-ikx} ) являются линейно независимыми собственными функциями оператора импульса и образуют базис для пространства волновых функций через разложение Фурье. Однако важно помнить, что:
- Непрерывный спектр: В случае непрерывного спектра оператор импульса имеет собственные функции, которые являются обобщёнными и не принадлежат ( L^2(\mathbb{R}) ).
- Базис через суперпозиции: Любая допустимая волновая функция может быть представлена как интеграл по этим базисным функциям, что обеспечивает полноту базиса.
- Физическая реализация: В реальных физических системах волновые пакеты, являющиеся суперпозициями таких экспонент, более применимы для описания локализованных частиц.
Таким образом, понимание линейной алгебры, особенно концепций линейной независимости и базиса в гильбертовом пространстве, важно для правильной интерпретации волновых функций и их свойств в контексте квантовой механики.
Если у вас остались дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение какого-либо аспекта, пожалуйста, дайте знать!
2 лайка
У тебя логический скачок вот тут происходит. Решение уравнения Шредингера является собственной функцией Гамильтониана, но с каких пор оно обязано быть собственной функцией оператора импульса? Гамильтониан это \frac{1}{2m}\hat{p}^2+\hat{V}. Можно проверить и убедиться, что линейная комбинация является собственной функцией \hat{p}^2.
Разные собственные значения у квантовых состояний значат если ты проведешь измерение импульса, ты получишь разные значения k (а точнее \pm k).
а че ты горишь, нормально он вам отвечал. Разве что логическую ошибку в assumptions не разглядел, попробую потюнить system prompt. Мог кстати @o3-mini вызвать)
Да, и если ты подставишь линейную комбинацию в уравнение Шредингера оно будет выполняться. Потому что там квадрат импульса, а не сам импульс.
в данном случае роли не играет, но вообще правильная запись:
\langle x \rangle = \langle \psi \vert x \vert \psi \rangle = \int dx\; \psi^* x \psi
верно
ровно поэтому же и просто попытка нормализовать эту функцию приведет к несходящемуся интегралу. Волновая функция свободной частицы is not square integrable.
Что вы пытаетесь спросить? я не понимаю
Я почти любую функцию могу назвать базисной, потому что пространство с конечной размерностью может иметь много (бесконечно даже, при условии что наши пространства в поле \mathbb{C} и \mathbb{R}.
Это общий результат, коммутирующие операторы have common set of eigenvalues. Причем это и в обратную сторону работает:
If the linear operators \hat{A} and \hat{B} have a common complete set of eigenfunctions, then \hat{A} and \hat{B} commute.
Let \hat{A}g_i = a_i g_i and \hat{B}g_i = b_i g_i
\begin{align}
(\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}) f &= (\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}) \sum_i c_i g_i = \sum_i c_i (\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A})g_i \\
&= \sum_i c_i [\hat{A}b_i g_i - \hat{B} a_i g_i] = \sum_i c_i [b_i a_i g_i - a_i b_i g_i] =0
\end{align}
If the Hermitian operators \hat{A} and \hat{B} commute, we can select a common complete set of eigenfunctions for them.
If \hat{A}g_i = a_i g_i and [\hat{A}, \hat{B}]=0 then \hat{B}g_i = b_i g_i.
Еще остались вопросы?
Вообще с reasoning моделями типа o1 (София), o3-mini продолжительные чаты мало имеют смысла, надо хорошо сформулировать изначальный prompt, чтобы она знала что тебе нужно собственно говоря.
4 лайка
Я сегодня дошел до главы, что для того, чтобы операторы имели общий сет айгенфункций, нужно чтобы их коммутатор был равен нулю, а коммутатор импульса и гамильтониана не ноль вроде бы. Тогда логично.
Эта мысль мне тоже сегодня в голову пришла. Вообще у меня почему-то ортогональность в голове имела значение перпендикулярности, ну типо если скалярное произведение двух векторов 0. Ну вот, я помню года два назад мы на сборах сказали, что функция это вектор в бесконечномерном пространстве, и условие ортогональности двух функций это что-то вроде того же скалярного произведения. Ну и тогда, типо в 2D у меня может быть очень много пар базисных векторов as long as they are linearly independent, но ведь не все они будут перпендикулярны друг другу. Так вот я видимо не совсем понимаю, что в квантах значит ортогональность: linear independence or перпендикулярность?
Да.
Вроде нет
1 лайк
Перпендикулярность. Not all basis sets are orthogonal, i.e. orthogonality is not a requirement for a basis function.
3 лайка