Формула радиуса кривизны на плоскости

Математика
1

Я наткнулся на такую формулу радиуса кривизны, но не могу понять как она вывелась.

R = \frac{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}{|y''|}\newline y' = \frac{dy}{dx},\ y'' = \frac{d^2y}{dx^2}

Я нашел это, но это выходит за рамки моего понимания. Есть ли более понятное обоснование этой формулы для двумерного пространства?

2

Мне кажется, здесь проще объяснено:

3

Тут важно понимать, геометрический смысл производных и как из первой производной рождается уравнение касательной прямой, из первых двух производных, уравнение касательной параболы.
Если поймёте, то осталось только решить задачу: как по уравнению параболы, находить радиус кривизны в каждой точке параболы.

4

Берёшь точки (x, y) и (x+dx, y+dy), касательные к которым образуют углы \alpha и \alpha+d\alpha к оси x. Инфинитезимально малое расстояние между этими точками \sqrt{dx^2+dy^2}, с другой стороны, равно Rd\alpha. Немного преобразований и дифференцирования, и получится ответ.

9 лайков
5

Мы можем сказать, что в любой момент времени у тела есть некоторый радиус кривизны при броске, а значит есть и дуга dS той самой окружности.
dS=Rd\alpha, где R - радиус кривизны окружности (в приближении, дуга \approx катет прямоугольного треугольника), а d\alpha - угол поворота на дугу dS.

Понятно что dS=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \Leftrightarrow ds=dx\sqrt{1+{y'}^2}

Нам также известно что \displaystyle \tg\alpha=\frac{dy}{dx}=y' \Leftrightarrow \frac{d\alpha}{\cos^2\alpha}=y''dx \Leftrightarrow d\alpha=y''\cos^2\alpha dx

tg^2\alpha =\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}-1 \Leftrightarrow \cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tg^2\alpha}=\frac{1}{1+y'^2}

Итого:

d\alpha=\frac{y''}{1+y'^2}dx

Радиус кривизны траектории:

R=\frac{dS}{d\alpha}=\frac{(1+y'^2)^{1/2}dx}{y''dx}(1+y'^2)=\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{y''}
9 лайков
6

infinitesimal – бесконечно малое…

1 лайк
7

Это не останавливает авторов зарубежных учебников писать “infinitesimally small” :face_with_raised_eyebrow:

image
image1217×266 40.5 KB

3 лайка
8

Это прямо как ATM machine и Chai tea :rofl:

3 лайка
9

или “экспонента в степени x”

1 лайк
10

а авторы научных исследований пишут protein mutant.

А еще удивительное количество американцев не может запомнить разницу между “they’re, their, there” или “it’s, its”. Носителей языка. Чтобы понять масштаб проблемы достаточно загуглить - количество результатов ошеломляет.

1 лайк