Гармонический осциллятор

Химия Квантовая химия
1

изображение
изображение1528×879 317 KB

изображение
изображение1307×432 109 KB

Есть несколько вопросов, объясните пожалуйста:

  1. А что они подразумевают под гармонический осциллятором? Типо есть два атома и их соединяет связь, и всё это называют гармоническим осциллятором так?
  2. Как это энергия колебании постоянно меняется от кинетической к потенциальной? Как это происходит?(под колебаниями они ведь подразумевают растяжение и сжатие связи так?)
  3. Частота колебании обратно пропорциональна массе осциллятора, и прямо пропорциональна силе пружины К. Нам не показали формулу, но полагаю она выглядит так: v=K/m?
  4. Нам говорят про “frequency” при этом в формуле “wavenumber”, так и должно быть?
  5. Если связь колеблется быстро, это означает что она колеблется с большой частотой?
  6. Короткие и прочные связи вибрируют с большей энергией и частотой, чем длинные и слабые связи. Это означает, что такие связи любят поглощать электромагнитные волны с большей энергией, так? А волны с меньшей энергией им «не по вкусу»?
1 лайк
2

изображение
изображение1920×929 94.1 KB

Скорее не масса, а приведенная масса. А формулу ведь наглядно продемонстрировали, и выглядит эта зависимость как \bar{v} \propto \sqrt K (чем больше сила связи, тем больше частота, и наоборот) и \bar{v} \propto \frac{1}{\sqrt \mu} (чем больше приведенная масса, тем меньше частота, и наоборот).

Frequency прямо пропорциональна wavenumber (а константой пропорциональности является скорость света), поэтому рассуждения вокруг frequency можно перенести и на рассуждения вокруг wavenumber. Проще говоря, если мы говорим, что чем больше сила связи, тем больше частота, то это имплицитно говорит о том, что волновое число тоже становится больше, при увеличении силы связи.

Полагаю, что да, ибо частота имеет размерность с^{-1}, что вроде бы показывает число колебаний в секунду. Отсюда так и напрашивается мысль о том, что частота - скорость колебания

Короткие и прочные связи имеют большое значение К, чем длинные и слабые связи (потому что как и написано в учебнике, связь является аналогией пружине, а К это жесткость пружины). Если проанализировать формулы, которые дает нам учебник, то становится понятно, что чем больше К, тем больше волновое число (а соответственно, и частота колебания), и тем больше колебательная энергия. А в случае маленького значения К, вывод обратный.

5 лайков
3

Гармонический осциллятор – это физическая модель. В школе не изучали? Некая масса привязанная к пружине с характерной жесткостью и эту массу выводят из покоя.

В химии мы можем использовать модель гармонического осциллятора для моделирования vibrations (по-русски колебания, но не стоит думать, что речь только о колебании как маятника). Мы говорим, что давайте рассмотрим химическую связь как два грузика соединенных пружиной с характерной жесткостью k (пропорциональной энергии связи).

Энергию гармонического осциллятора можете записать? Это школьная программа по физике.

Сила, действующая на гармонический осциллятор определяется законом Гука: F=-k\Delta x. Где \Delta x = x - x_0, отклонение от некого равновесного значения x_0. Допустим мы оттянули пружину на x=x_1=2x_0. У грузика потенциальная энергия 0.5k (x-x_0)^2=0.5x_0^2. Как только мы его отпустим, он будет двигаться к x_0. В определенной точке он дойдет до x=x_0, а значит его потенциальная энергия будет 0.5k(x_0-x_0)^2=0. Но энергия ведь не исчезает вникуда, она сохраняется в кинетическую (ибо грузик обладает в этот момент ненулевой скоростью).

Формулу \lambda \nu = v для волн знаете? (тоже школьная программа). Для электромагнитных волн v=c, значит \lambda \nu = c. Если мы хотим сравнивать энергии двух уровней, мы можем:

  1. Напрямую сравнивать энергии
  2. Сравнивать частоты[1] (ибо E=h\nu)
  3. Сравнивать любые величины линейно пропорциональные частоте. Например длины волн: \lambda = c/\nu
  4. Длины волн очень маленькие величины в данном контексте (10^{-6} м). Поэтому можем рассматривать 1/\lambda, что и есть wavenumber.

Можно сказать так. Но не всегда большая частота соответствует большой скорости колебаний. Частота колебаний определяет энергую колебательного уровня. Эту энергию можно тратить на: кинетическую (скорость), потенциальную (амплитуду колебаний, природу колебаний[2])

Полностью нарушена причинно-следственная цепочка.

Вернемся к моему предыдущему ответу:

Короткие и прочные связи образуют колебательные уровни, которые а) выше по энергии б) более равноудалены друг от друга[3]. Это значит, что а) большая доля молекул будет на нижнем колебательном уровне v=0 и б) нужно будет электромагнитную волну с большей энергией, чтобы перейти с уровня v на v+1.

  1. Я бы напомнил, что не стоит путать частоту колебаний с частотой электромагнитной волны, обладающей энергией, соответствующей тому или иному уровню колебаний. Т.е. когда мы говорим о частоте ЭМВ, которая поглощается, мы не говорим о частоте колебаний. ↩︎

  2. Например, в молекуле O=C=O растяжение связи C=O и изменение угла O-С-O будут явно требовать разные количества энергии. ↩︎

  3. \Delta E_{v\to v+1} = h\nu (v+3/2)-h\nu(v+1/2)=h\nu ↩︎

4 лайка
4

А какая разница? И в конечном итоге формула та же, просто 2пс это константа, и от неё нечего не зависит да?

Ну так v= c * v^-, это вообще разные вещи, можно было сразу просто v написать, а значение «с» просто проигнорировали

Я кажется имел ввиду, что связь туда сюда движется быстро, если поглотит электромагнитную волну с большой частотой, это ведь так, да?

А вот связь же только поглощяет волны, не выделяет же да? А прочные связи предпочитают поглощать волны с большой энергией, ведь они могут легко распределить эту энергию по прочной и надежной связи, да? Ординарная связь так бы не смогла, ведь она слабая по сравнению с тройной, да?

1 лайк
5

А в каком классе всё это проходят? И что за х и х0?

Но они сказали про частоту, и написали волновое число, при этом проигнорировав важное значение «с», для сравнения думаю можно, но ведь в формуле должен стоять v а не v^- да?

Немного не понял, а в чем разница?

А что это?

1 лайк
6

Не знаю, как там у вас, химиков, но в физике волновое число определяется как 2\pi/\lambda.

Кстати говоря, для квантовых гармонических осцилляторов уровни энергий эквидистантны, то есть

\mathscr{E}_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).

Это получается по той причине, что если использовать стационарное уравнение Шрёдингера

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+\psi U = \psi\mathscr{E}

для одномерной частицы в параболическом потенциальном поле

U=\frac{1}{2}kx^2,

и ещё провести следующую замену

\omega=\sqrt\frac{k}{m},\quad\xi=x\sqrt\frac{k}{\hbar\omega},\quad\lambda=\frac{2\mathscr{E}}{\hbar\omega},

то получится уравнение

-\frac{d^2\psi}{d\xi^2}+\xi^2\psi=\lambda\psi.

Подберём пока такое решение для волновой функции:

\psi = e^{\alpha\xi^2}.

При её подстановке в изначальное дифференциальное уравнение получится \displaystyle(1-4\alpha^2)\xi^2-2\alpha = \lambda, причём это выражение должно выполняться тождественно по \xi, то есть \alpha=-1/2[1], и, следовательно,

\mathscr{E}=\frac{1}{2}\hbar\omega.

Это просто нулевая энергия.

В стационарном состоянии с энергией \mathscr{E}_n функция \psi имеет n узлов, чему соответствует функция

\psi = P_n(\xi) \cdot \exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right),

где P_n(\xi) – некоторая функция от \xi (в источниках это называют полиномом n-й степени с некратными вещественными корнями). Если её продифференцировать и подставлять в уравнение Шрёдингера, то получится

-P''_n+2\xi P'_n + P_n = \lambda P_n.

Опять же, это соотношение должно быть тождественным по \xi[2]. Степень дважды продифференцированного полинома P''_n на два меньше всех остальных слагаемых, так что надо сравнить коэффициенты при \xi^n у последних трёх величин. Если для P_n коэффициент при старшем члене равен a_n, то у 2\xi P'_n он равен 2na_n, тогда должно выполняться соотношение

\lambda = 2n+1,

или же

\mathscr{E}_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).

  1. Здесь взято со знаком “минус”, так как иначе волновая функция обращалась бы в бесконечность при x=\pm\infty ↩︎

  2. В тех же источниках говорят, что полиномы, которые являются решением выведенного уравнения, являются полиномами Чебышева-Эрмита. ↩︎

5 лайков
7

Для численных значений – большая. Концептуально – это тоже масса.

Во-первых “нИчего”, во-вторых, на такой вопрос невозможно дать ответ. Если бы от нее прям совсем ничего не зависело, ее бы не было в формуле.

Если вы бы спросили “меняется ли вывод, что у более тяжелых частиц меньшие значения \tilde{v}, от того используем мы m или \mu” – я бы сказал: “нет, не меняется”.

Вы уверены? Посмотрите внимательно на уравнение.

Какой смысл от того, что вы задаете вопросы, если вы полностью игнорируете мои ответы?

Если молекула находится не на нижнем уровне v=0, а на, скажем v=1, она может перейти с уровня v=1 на v=0 и тогда энергия будет выделяться.

Вы полностью проигнорировали мои ответы, которые я писал вам два часа, пытаясь объяснить существование колебательных энергий. Я просто скажу, что колебательные энергии относятся ко всей молекуле, не к отдельным связям. Никакого “распределения” энергий не происходит. Просто для перехода на более высокий энергетический уровень нужно больше энергии.

Они его проигнорировали? Напомню

\nu=\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

Изменение энергии при переходе с уровня v на v+1.

В спектроскопии без 2\pi. В вики про это немного есть.

Именно это я и показал вот тем уравнением)

Ай емае, он и с меньшим объемом деталей не мог справиться))))

Специально для @Sanjaster: Алишер показал откуда берется формула для энергий. Это “nice bonus”. Ответы на все ваши вопросы можно получить И БЕЗ этого вывода.

1 лайк
8

Думаю хватит мне на сегодня аска, уже голова кружится)

1 лайк
9

Подозреваю, что c означает натуральное число c\in\N, которое соответствует различным модам колебаний (и тогда \widetilde{\nu} – это что-то вроде “основного тона” в обертонах, если использовать аналогию с музыкой), но я не знаю, как это может работать для модели гармонических колебаний.

10

В 9 классе[1]

9.2.5.3-описывать сохранение энергии в колебательных процессах
9.2.5.4-записывать уравнения координат, скорости и ускорения по графикам гармонических колебаний
9.2.5.5- объяснять причины возникновения колебаний в различных колебательных системах, исследовать зависимость периода колебаний маятника от различных параметров

Приложение 21 к приказу №496

  1. Знать это должны ученики ВСЕХ школ, вне зависимости от форм собственности, от учебной нагрузки (приведенные цели из плана с СОКРАЩЕНИЕМ учебной нагрузки), от выборности (ЕМН или ОГН начинается с 10 класса) предметов. Акцент сделал для того, чтобы подчеркнуть какими должны быть выпускники казахстанских школ по стандартам МОН и заставить читателя задуматься насколько реально выпускники казахстанских школ этому соответствуют. ↩︎

1 лайк
11

Я их не игнорировал, просто в них слишком много всего, и в голову это не укладывается, думаю если завтра перечитаю, то лучше пойму.

Спасибо, это я понял.

2 лайка
12

Изыди братан, о чем ты? Это скорость света:

\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

При этом,

\tilde{v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\frac{c}{\nu}} = \frac{\nu}{c}

Значит:

\tilde{v}=\frac{1}{2\pi c} \sqrt{\frac{k}{m}}

Как и показано в учебнике. Он просто невнимательно смотрит и торопится.

13

а)) я слишком привык к тому, что волновое число у нас обозначается как k

14

Ну значит постараюсь понять все это через несколько месяцев на уроках физики

1 лайк
15

вы 8 класс закончили???

16

Ну так написал же в профиле

1 лайк
17

кто мешает изучить это сейчас :thinking:. тем более в школьной физике гармонические колебания очень поверхностно описываются (никаких производных!), поэтому лучше самому углубленно изучать это

18

а че вы делаете с макмурриком?

Это именно та причина, по которой мы убрали термоду в 10 класс, кинетику в 11 класс, макмурри в 10 класс, кванты в 11 класс в силлабусе QazChO

Всему свое время.

В 9 классе время изучать неорганику

19

только не говорите, что вы хотите в 9 классе участвовать на школьной олимпиаде за 10 класс…

2 лайка
20

Была такая идея, почему бы и нет, но может и за 9( не думаю что это плохо)

1 лайк