1 лайк
Так как угловая скорость это вектор, то относительную скорость можно посчитаеть из теоремы Пифагора.
\omega=\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}
Угловое ускорение появляется за счёт того что ось первого тела вращается относительно второго с угловой скоростью \omega_2. А это значит, что \frac{d\pmb{\omega_1}}{dt} = изменение модуля + изменение направления. Где изменение направления это [\pmb{\omega_1}*\pmb{\omega_2}], а изменение модуля 0 по условию, значит \beta=\omega_1*\omega_2
2 лайка
Спасибо за ответ! Но почему изменение направления это именно векторное произведение омег
@Adilsamat_Abitaev видно, что вы очень плохо читали/либо вовсе не читали теорию. В принципе @PoMa объяснил все вкратце, но считаю нужным объяснить вам все поглубже.
Сначала рассмотрим радиус вектор некого тела \vec r
\vec r=\hat xx+\hat yy+\hat zz
Допустим этот вектор изменяется с течением времени, тогда ее производная
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}=\left(\frac{d\hat x}{dt}\right)x+\left(\frac{d\hat y}{dt}\right)y+\left(\frac{d\hat z}{dt}\right)z+\left(\frac{d x}{dt}\right)\hat x+\left(\frac{d y}{dt}\right)\hat y+\left(\frac{d z}{dt}\right)\hat z
Это можно написать в виде
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}=\left(\frac{d\hat x}{dt}\right)x+\left(\frac{d\hat y}{dt}\right)y+\left(\frac{d\hat z}{dt}\right)z+\left(\vec{ \frac{\delta r}{\delta t}}\right)
Для удобства мы здесь обозначили
\left(\frac{d x}{dt}\right)\hat x+\left(\frac{d y}{dt}\right)\hat y+\left(\frac{d z}{dt}\right)\hat z=\left(\vec{ \frac{\delta r}{\delta t}}\right)
Теперь нужно разобраться с производными единичных векторов.
Допустим какое-то точечное тело вращается по окружности
Очевидно, что скорость тела всегда будет направлена по касательной к этой окружности. Давайте возьмем начала координат в произвольном месте, тогда радиус вектор то начала координат до тела будет \vec r, а r' будет служить в роле радиуса окружности.
Тогда скорость тела естественно равна
v=\omega r'
Если угол между векторами \vec \omega и \vec r обозначить как \theta, то
v=\omega r\sin\theta
По определению векторного произведения модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов и синуса угла между ними, поэтому
\vec v=\vec\omega \times \vec r
Обратите внимание на то, что модуль скорости при движении по окружности не меняется и в этом случае меняется только ее направление. Этот результат можно обобщить для любого вектора \vec A, модуль которого постоянен. И так отсюда выходит что производная вектора, при постоянном модуле равна
\frac{d\vec A}{dt}\bigg|_{A=const}=\vec\omega\times \vec A
У базис векторов модуль остается постоянным и меняется только направление, тогда для них можно написать
\frac{d\hat x}{dt}=\vec \omega\times \hat x\qquad \frac{d\hat y}{dt}=\vec \omega\times \hat y\qquad \frac{d\hat z}{dt}=\vec \omega\times \hat z
Общее выражение для производной вектора
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}=\left(\vec{\frac{\delta r}{\delta t}}\right)+\vec \omega\times \hat xx+\vec \omega\times \hat yy+\vec \omega\times \hat zz=\left(\vec{\frac{\delta r}{\delta t}}\right)+\vec\omega\times(\hat xx+\hat yy+\hat zz)=\left(\vec{\frac{\delta r}{\delta t}}\right)+\vec\omega \times \vec r
В результате получается формула
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}=\left(\vec{\frac{\delta r}{\delta t}}\right)+\vec\omega\times \vec r
Это и есть производная вектора. Понятно, что первый член отвечает за изменение модуля вектора, тогда как второй отвечает за изменение ее направления. Этот результат также можно записать как
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}_S=\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}_{S'}+\vec\omega\times \vec r
То есть эту формулу также можно использовать чтобы переходить во вращающуюся систему отсчета и наоборот. Здесь S это система отсчета, которая не вращается, а S' это вращающаяся система отсчета. Причиной этому является то, что во вращательной системе отсчета у нас не меняется направление вектора, а меняется только ее модуль.
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}_{S'}=\vec{\left(\frac{\delta r}{\delta t}\right)}
Если посторонний наблюдатель в не вращающейся СО будет смотреть на вектор, который находится во вращающемся СО, то для будет казаться, что меняется и направление и модуль вектора
\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}_S=\left(\vec{\frac{\delta r}{\delta t}}\right)+\vec\omega\times \vec r=\vec{\left(\frac{dr}{dt}\right)}_{S'}+\vec\omega\times \vec r
Все это можно упростить и написать
\vec V=\vec V'+\vec \omega\times \vec r
Где штрихом обозначена вращающаяся СО
12 лайков
Видимо, и в правду, плохо читал Сивухина. Раза два или три прочитал там эту тему, но всё равно не до конца понял. Но благодаря твоему ответу всё стало на свои места. Отличная подача материала! Искренне благодарен)
2 лайка