∇ · E = ρe, ∇ × E = −
\frac{∂B}
{∂t} , ∇ · B = 0, ∇ × B = J_e +
\frac{∂E}
{∂t}
where ρ_e and J_e are the electric charge density and electric current density.
(a) Show that Maxwell’s equations ensure the conservation of electric charge, \frac{dρ_e}{dt} = −∇ · Je.
This is the continuity equation, and we saw versions of it for other conserved quantities in T2.
(b) Generalize Maxwell’s equations to include a magnetic charge density ρm and a magnetic
current density Jm. Fix the signs by demanding that magnetic charge is conserved.
(c) Check that the resulting equations are invariant under the duality transformation
which rotates electricity into magnetism with angle θ.
(d) Write down the Lorentz force law for a particle with electric and magnetic charge, using the
fact that it should be invariant under the duality transformation above
Дуальное преобразование, о котором идёт речь, представляет собой математическое “вращение” в абстрактном пространстве, где электрические и магнитные величины могут переходить друг в друга.
Угол θ определяет, насколько сильно мы “смешиваем” электрические и магнитные величины. Представь это так:
При θ = 0°: ничего не меняется (E’ = E, B’ = B)
При θ = 90°: электрическое поле полностью превращается в магнитное и наоборот (E’ = B, B’ = -E)
При произвольном θ: получаем смесь полей
Проверка инвариантности означает, что уравнения Максвелла должны сохранять свою форму после такого преобразования. Это фундаментальное свойство указывает на глубокую симметрию между электричеством и магнетизмом в природе.
В матричной форме это преобразование записывается как:
\begin{pmatrix}
E' \\
B'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos θ & \sin θ \\
-\sin θ & \cos θ
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E \\
B
\end{pmatrix}
Это похоже на вращение вектора на плоскости, только вместо координат x и y мы “вращаем” электрические и магнитные поля друг в друга.
Хочешь ли ты глубже разобрать математическую сторону этого преобразования?
Конечно, о пытливый ум! Давай раскроем это произведение матриц:
\begin{pmatrix}
E' \\
B'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos θ & \sin θ \\
-\sin θ & \cos θ
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E \\
B
\end{pmatrix}
При умножении матриц получаем:
\begin{pmatrix}
E' \\
B'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
(\cos θ)E + (\sin θ)B \\
(-\sin θ)E + (\cos θ)B
\end{pmatrix}
То есть:
E' = E\cos θ + B\sin θ
B' = -E\sin θ + B\cos θ
Видишь, как каждая новая величина является линейной комбинацией исходных полей, взвешенной тригонометрическими функциями угла θ? Это и есть “смешивание” электрического и магнитного полей.
Хочешь проверить, как это работает для каких-нибудь конкретных значений угла θ?
отлично, а зачем нам нужен этот угол? Можно например с помощью этих преобразований получить изменение магнитного и электрического поля в разных инерциальных системах отсчёта при релятивистских скоростях? Или для чего может быть использовано это свойство?
Дуальная симметрия Maxwell’s equations имеет несколько важных применений:
Теоретическая красота:
Демонстрирует фундаментальную связь между электричеством и магнетизмом
Показывает, что уравнения Максвелла сохраняют форму при “вращении” E и B полей друг в друга
Это свойство намекает на более глубокую симметрию природы
Преобразования Лоренца:
К сожалению, эти дуальные преобразования НЕ описывают переход между инерциальными системами отсчета. Для релятивистских преобразований полей используются другие формулы, где важную роль играет скорость β = v/c:
E' = γ(E + β × B)
B' = γ(B - β × E)
Практическое применение:
Упрощение решения сложных электродинамических задач
Поиск новых решений через известные путём поворота полей
В квантовой теории поля для описания дуальности электрического и магнитного зарядов
Монополи:
Дуальные преобразования особенно важны в теоретических исследованиях магнитных монополей, хотя они пока не обнаружены экспериментально.
Хочешь глубже разобрать какой-то из этих аспектов?
Видишь? Левая и правая части тождественно равны! Это и означает инвариантность.
Аналогично можно показать для всех остальных уравнений. Физически это означает, что законы электромагнетизма не меняются при таком “вращении” полей друг в друга.
Хочешь разобрать доказательство для других уравнений?
такс, хорошо то есть я бы мог так преобразовывать если бы магнитный заряд существовал, но к сожалению он пока не обнаружен. Эти преобразования можно использовать, то есть в независимости от задачи, я всегда могу заменить магнитное поле электрическим и наоборот?
@eudaimon есть ли физический смысл у magnitude вектора (E, B)^\top? Or is there any physical meaning to the distance between two vectors (E,B)? The duality transformation, being a unitary transformation, would preserve that distance, but does that distance mean anything?
@eudaimon Первый инвариант это же по сути расстояние с учетом того, что metric tensor (1, -1) а не (1, 1), не? Если да, то можешь объяснить почему metric tensor именно такой?
Метрический тензор (1, -1) появляется здесь не случайно. Это связано с глубокой симметрией природы:
В специальной теории относительности пространство-время имеет метрику Минковского с сигнатурой (+,-,-,-) или (-,+,+,+). Это отражает фундаментальное различие между временем и пространством.
Электромагнитное поле, как калибровочное поле, тесно связано с этой структурой пространства-времени. Тензор электромагнитного поля F_{\mu\nu} содержит компоненты E и B:
Эта структура неслучайна - она отражает то, как электромагнитное поле “живёт” в пространстве-времени Минковского. В некотором смысле, метрика (1,-1) для (E,B) это “эхо” метрики пространства-времени.
Хочешь разобрать, как это связано с дуальными преобразованиями и группой Лоренца?
кстати, если посмотреть на приведённые сверху уравнения максвелла, то размерности E и B будут разные. Значит ли это, что там опечатка в этих уравнениях?
